BZOJ2669 [cqoi2012]局部极小值状压DP 容斥原理

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mb5fe55bba5ad74 2017-10-17 22:45:00

文章标签 状压dp 容斥原理 i++ #include 预处理 文章分类 代码人生

题意概括

　　有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。

给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

　　几组例子：

1.in	1.out
1 3 .X.	2
2.in	2.out
2 2 X. .X	0
3.in	3.out
3 2 X. .. .X	60
4.in	4.out
3 6 ....X. ...... .X...X	869490

题解

　　大半个月没发博文了，冒个泡（也许我太弱了，又在放水题）

　　这题有一个大大的坑点。

　　要保证'.'不是局部极小值。

　　我们先假设可以不保证这个东西。

　　对于某一个局面（已知某些位置一定是局部最小值，其他位置不一定是局部最小值），我们如果要求得方案总数，可以写状压dp。

　　我们把局部最小点的占用情况状态压缩一下。

　　然后用dp[i][j]表示填了前i个数字(即1..i)，然后局部最小点的占用状态为j的方案总数。

　　那么自然，我们要预处理2个值。

　　一个是当前状态下的局部最小点占用数cnt_chosen[i]（当然这个不预处理也可以的……）

　　一个是当前状态下多少非局部最小点是可以填数的，记为cnt_clock[i]（博主英语不好，不要介意）

　　在不断选择点的过程中，这个数是很有用的，而且不会受到后来填的数的影响。

　　那么，对于dp[i][j]，接下来可行的非局部最小点数就是relax_clock = cnt_clock[j] - (i - cnt_chosen[j])。

　　具体那个cnt_clock怎么求，就是除掉局部最小点以及未选择的局部最小点周围的8连通点以外的点数。

　　那么转移方程分成两个部分，一个是接下来选择一个非局部最小点，有relax_clock种方案。

　　另一种是选择一个未选择的局部最小点，这个基本上是基础的状压dp。

　　接下来是最强大的一步了！

　　怎么避免原来的非局部最小点也变成局部最小点呢？

　　答案是 —— 容斥！！！

　　可怕，用dfs操作，奇加偶减即可。

代码

#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define FOR(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int N=10,M=15,P=10,S=1<<9,mod=12345678;
int n,m,s,totp,cnt_clock[S],cnt_chosen[S],dp[30][S],ans;
bool f[N][M];
struct Point{
  int x,y;
  Point (){}
  Point (int x_,int y_){
    x=x_,y=y_;
  }
}p[P];
void init(){
  char ch[N][M];
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%s",ch[i]+1);
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++)
      f[i][j]=ch[i][j]=='.'?0:1;
}
bool check(int x,int y){
  return 1<=x&&x<=n&&1<=y&&y<=m;
}
bool fail_simple_judge(){// judge of 0 
  FOR(i,1,n)
    FOR(j,1,m)
      if (f[i][j])
        FOR(x,i-1,i+1)
          FOR(y,j-1,j+1)
            if ((x!=i||y!=j)&&check(i,j)&&f[x][y])
              return 1;
  return 0;
}
void getp(){
  totp=0;
  for (int i=1;i<=n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++)
      if (f[i][j])
        p[totp++]=Point(i,j);
}
void get_cnt(){
  bool g[N][M],mark[N][M];
  s=1<<totp;
  for (int i=0;i<s;i++){
    memset(g,0,sizeof g);
    memset(mark,0,sizeof mark);
    cnt_chosen[i]=cnt_clock[i]=0;
    for (int j=0;j<totp;j++)
      if (i&(1<<j))
        cnt_chosen[i]++;
      else {
        Point v=p[j];
        int x=v.x,y=v.y;
        g[x][y]=1;
      }
    FOR(x,1,n)
      FOR(y,1,m)
        if (g[x][y])
          FOR(a,x-1,x+1)
            FOR(b,y-1,y+1)
              if (check(a,b))
                mark[a][b]=1;
    for (int j=0;j<totp;j++){
      Point v=p[j];
      int x=v.x,y=v.y;
      mark[x][y]=1;
    }
    FOR(x,1,n)
      FOR(y,1,m)
        if (!mark[x][y])
          cnt_clock[i]++;
  }
}
int DP(){
  getp();
  get_cnt();
  memset(dp,0,sizeof dp);
  dp[0][0]=1;
  for (int i=0;i<n*m;i++)
    for (int j=0;j<s;j++){
      if (dp[i][j]==0)
        continue;
      int relax_clock=cnt_clock[j]-(i-cnt_chosen[j]);
      dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]+1LL*dp[i][j]*relax_clock%mod)%mod;
      for (int k=0;k<totp;k++)
        if (!(j&(1<<k))){
          int j_=j|(1<<k);
          dp[i+1][j_]=(dp[i+1][j_]+dp[i][j])%mod;
        }
    }
  return dp[n*m][s-1];
}
void dfs(int x,int y,int op,int add){
  if (add)
    ans=(ans+DP()*op+mod)%mod;
  int x_=x,y_=y;
  if (x==n&&y==m)
    return;
  if (y==m)
    x_++,y_=1;
  else
    y_++;
  dfs(x_,y_,op,0);
  FOR(i,x-1,x+1)
    FOR(j,y-1,y+1)
      if (check(i,j)&&f[i][j])
        return;
  f[x][y]=1;
  dfs(x_,y_,-op,1);
  f[x][y]=0;
}
int main(){
  init();
  if (fail_simple_judge()){
    printf("0");
    fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
  }
  ans=0;
  dfs(1,1,1,1);
  printf("%d",ans);
  return 0;
}