一：梯度下降法推导公式：

梯度下降法解决线性回归_缩放

 

二：当训练集为1维时



#进行数据分析所需库，可以看做是对numpy工具的补充
import pandas as pd
import numpy as np

#应该把Seaborn视为matplotlib的补充,作图所用工具，在大多数情况下使用seaborn就能做出很具有吸引力的图，而使用matplotlib就能制作具有更多特色的图
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
#设置绘画的图标格式和颜色
sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="dark")
#读取数据并赋予列名，此时df共有两列，列名分别为population和profit
df = pd.read_csv('ex1data1.txt', names=['population', 'profit'])


def get_x(df):
    #ones:格式化为一个m列的全为1的向量
    ones = pd.DataFrame({'ones':np.ones(len(df))})
    #将date格式化为ones向量右边加上df矩阵的矩阵
    data = pd.concat([ones, df], axis=1)
    #返回data矩阵的前两列，返回m * 2的矩阵
    return data.iloc[:, :-1].as_matrix() # 这个操作返回 ndarray,不是矩阵


def get_y(df):
    #返回df矩阵的最后一列，返回m × 1的向量
    return np.array(df.iloc[:, -1])


def normalize_feature(df):
    # 特征缩放,对df中的两列数据分别进行特征缩放 ：（x - x平均值）/ x方差
    return df.apply(lambda column: (column - column.mean())/column.std())


X = get_x(df)
print(X.shape, type(X)) #X为m × 2的矩阵
y = get_y(df)
print(y.shape, type(y)) #y为m × 1的向量

theta = np.zeros(X.shape[1])#X.shape[1]=2,代表特征数n X.shape(0) = 97;X.shape(1) = 2;将theta初始化为2行的零向量（列向量）


def lr_cost(theta, X, y):
#     """
#     计算theta固定时，此时的代价函数值
#     X: R(m*n), m 样本数, n 特征数
#     y: R(m)
#     theta : R(n), 线性回归的参数
#     """
    m = X.shape[0]#m为样本数

    #X矩阵和theta矩阵的点积所得矩阵（m × 1） - 矩阵y（m × 1）
    inner = X @ theta - y  # R(m*1)，X @ theta等价于X.dot(theta)

    #square_sum为inner的每个元素平方之和，即二范数
    square_sum = inner.T @ inner

    #得到此时代价函数的值
    cost = square_sum / (2 * m)

    return cost


#将代价函数对theta求导，即求梯度
def gradient(theta, X, y):
    #m为样本数
    m = X.shape[0]

    #这里的inner为代价函数对theta求导的结果
    inner = X.T @ (X @ theta - y)  # (m,n).T @ (m, 1) -> (n, 1)，X @ theta等价于X.dot(theta)

    return inner / m

#梯度下降函数
def batch_gradient_decent(theta, X, y, epoch, alpha=0.01):
#   拟合线性回归，返回参数和代价
#     epoch: 批处理的轮数
#     alpha: theta移动的步长
#     """

    #得到初始theta时的代价
    cost_data = [lr_cost(theta, X, y)]

    # 拷贝一份，不和原来的theta混淆
    _theta = theta.copy()

    #开始迭代epoch次
    for _ in range(epoch):
        #根据当前梯度更新theta
        _theta = _theta - alpha * gradient(_theta, X, y)
        #记录此时的代价
        cost_data.append(lr_cost(_theta, X, y))

    return _theta, cost_data


#迭代500次求最小代价和所对应的theta
epoch = 500
final_theta, cost_data = batch_gradient_decent(theta, X, y, epoch)

# 计算最终的代价
lr_cost(final_theta, X, y)

#画出代价函数值变化图
#可以看到从第二轮代价数据变换很大，接下来平稳了
ax = sns.tsplot(cost_data, time=np.arange(epoch+1))
ax.set_xlabel('epoch')
ax.set_ylabel('cost')
plt.show()


b = final_theta[0] # intercept，Y轴上的截距
m = final_theta[1] # slope，斜率

#画出原数据点和线性回归的最终结果
plt.scatter(df.population, df.profit, label="Training data")
plt.plot(df.population, df.population*m + b, label="Prediction")
plt.legend(loc=2)
plt.show()


三：当训练集为多维时

当训练集为多维时只需将上述代码稍作改动，完整代码如下：

 



#进行数据分析所需库，可以看做是对numpy工具的补充
import pandas as pd
import numpy as np

#应该把Seaborn视为matplotlib的补充,作图所用工具，在大多数情况下使用seaborn就能做出很具有吸引力的图，而使用matplotlib就能制作具有更多特色的图
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

#设置绘画的图标格式和颜色
sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="dark")
#读取数据并赋予列名，此时df共有两列，列名分别为population和profit
df = pd.read_csv('ex1data2.txt', names=['square', 'bedrooms', 'price'])
df.head()



def get_x(df):
    #ones:格式化为一个m列的全为1的向量
    ones = pd.DataFrame({'ones':np.ones(len(df))})
    #将date格式化为ones向量右边加上df矩阵的矩阵
    data = pd.concat([ones, df], axis=1)
    #返回data矩阵的前两列，返回m * 2的矩阵
    return data.iloc[:, :-1].as_matrix() # 这个操作返回 ndarray,不是矩阵


def get_y(df):
    #返回df矩阵的最后一列，返回m × 1的向量
    return np.array(df.iloc[:, -1])


def normalize_feature(df):
    # 特征缩放,对df中的两列数据分别进行特征缩放 ：（x - x平均值）/ x方差
    return df.apply(lambda column: (column - column.mean())/column.std())

data = normalize_feature(df) #特征缩放

X = get_x(data)
print(X.shape, type(X)) #X为m × 2的矩阵
y = get_y(data)
print(y.shape, type(y)) #y为m × 1的向量

theta = np.zeros(X.shape[1])#X.shape[1]=2,代表特征数n X.shape(0) = 97;X.shape(1) = 2;将theta初始化为2行的零向量（列向量）


def lr_cost(theta, X, y):
#     
#     计算theta固定时，此时的代价函数值
#     X: R(m*n), m 样本数, n 特征数
#     y: R(m)
#     theta : R(n), 线性回归的参数
#     
    m = X.shape[0]#m为样本数

    #X矩阵和theta矩阵的点积所得矩阵（m × 1） - 矩阵y（m × 1）
    inner = X @ theta - y  # R(m*1)，X @ theta等价于X.dot(theta)

    #square_sum为inner的每个元素平方之和，即二范数
    square_sum = inner.T @ inner

    #得到此时代价函数的值
    cost = square_sum / (2 * m)

    return cost


#将代价函数对theta求导，即求梯度
def gradient(theta, X, y):
    #m为样本数
    m = X.shape[0]

    #这里的inner为代价函数对theta求导的结果
    inner = X.T @ (X @ theta - y)  # (m,n).T @ (m, 1) -> (n, 1)，X @ theta等价于X.dot(theta)

    return inner / m


#梯度下降函数
def batch_gradient_decent(theta, X, y, epoch, alpha=0.01):
#   拟合线性回归，返回参数和代价
#     epoch: 批处理的轮数
#     alpha: theta移动的步长
#     

    #得到初始theta时的代价
    cost_data = [lr_cost(theta, X, y)]

    # 拷贝一份，不和原来的theta混淆
    _theta = theta.copy()

    #开始迭代epoch次
    for _ in range(epoch):
        #根据当前梯度更新theta
        _theta = _theta - alpha * gradient(_theta, X, y)
        #记录此时的代价
        cost_data.append(lr_cost(_theta, X, y))

    return _theta, cost_data


base = np.logspace(-1, -5, num=4)
candidate = np.sort(np.concatenate((base, base*3)))

epoch = 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(16, 9))

for alpha in candidate:
    _, cost_data = batch_gradient_decent(theta, X, y, epoch, alpha=alpha)
    ax.plot(np.arange(epoch+1), cost_data, label=alpha)

ax.set_xlabel('epoch', fontsize=18)
ax.set_ylabel('cost', fontsize=18)
ax.legend(bbox_to_anchor=(1.05, 1), loc=2, borderaxespad=0.)
ax.set_title('learning rate', fontsize=18)
plt.show()
'''
#画出代价函数值变化图
#可以看到从第二轮代价数据变换很大，接下来平稳了
ax = sns.tsplot(cost_data, time=np.arange(epoch+1))
ax.set_xlabel('epoch')
ax.set_ylabel('cost')
plt.show()
'''