中国剩余定理

中国剩余定理

维基百科，自由的百科全书

 

跳转到： 导航, 搜索

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，中国余数定理），古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。

目录 [隐藏] 1 物不知数 2 形式描述 3 克罗内克符号 4 近世交换环及推广 5 参考书目

[编辑] 物不知数

在中国古代著名数学著作《孙子算经》中，有一道题目叫做“物不知数”，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

中国数学家秦九韶于1247年做出了完整的解答，口诀如下

三人同行七十希，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知

这个解法实际上是，首先利用秦九韶发明的大衍求一术求出5和7的最小公倍数35的倍数中除以3余数为1的最小一个70（这个称为35相对于3的数论倒数），3和7的最小公倍数21相对于5的数论倒数21，3和5的最小公倍数15相对于7的数论倒数15。然后

233便是可能的解之一。它加减3、5、7的最小公倍数105的若干倍仍然是解，因此最小的解为233除以105的余数23。

附注：这个解法并非最简，因为实际上35就符合除3余2的特性，所以最小解是： 最小解加上105的正整数倍都是解。

[编辑] 形式描述

以上解法若推广到一般情况，便得到了中国剩余定理的一个构造性证明。

一般地，中国剩余定理是指若有一些两两互质的整数 ，则对任意的整数：a₁,a₂,...a_n，以下联立同余方程组对模 有公解：

[编辑] 克罗内克符号

为了便于表述，对任意的正整数用一个常用函数ζ_i,j表示，称之为克罗内克符号(Kronecker).定义：

使用该符号，即可给出上述一般同余方程组的求解过程，分两步完成

• 对每个，先求出正整数b_i满足，即所求的b_i满足条件：，但被每个整除。其求法如下：记，根据条件两两互素，可知r_i和m_i也互素，故存在整数c_i和d_i使得r_ic_i + m_id_i = 1.令b_i = r_ic_i，则对每个，相对应的m_j显然整除b_i，并且。由此表明b_i即为所求。
• 对于前述所求的b_i，令，则，这说明x₀为上述同余方程组的一个解，从而所有的解可表示为，其中的n可以取遍所有的整数。

[编辑] 近世交换环及推广

设为有单位元的交换环，为环的理想，并且当时，，则有典范的环同构，其中环同构由映射）给出。

模板

 1 ll x,y;
 2  ll ext_eulid(ll a,ll b)
 3  {
 4      int t,d;
 5      if(b == 0)
 6      {
 7          x = 1;
 8          y = 0;
 9          return a;
10      }
11      d = ext_eulid(b,a%b);
12      t = x;
13      x = y;
14      y = t - (a/b)*y;
15      return d;
16  }
17  ll CRT(ll *p,ll *o,int num)//p数组代表余数，o数组代表互质的数
18  {
19      int i;
20      ll ans = 0,n = 1;
21      for(i = 1;i <= num;i ++)
22      {
23          n *= o[i];
24      }
25      for(i = 1;i <= num;i ++)
26      {
27          ext_eulid(n/o[i],o[i]);
28          x = (x+o[i])%o[i];
29          ans = (ans + n/o[i]*p[i]*x) % n;
30      }
31      return ans;
32  }

 http://poj.org/problem?id=1006

未用模板解法 求解基础数

View Code

 1 #include <iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 int base(int x,int a,int p)
 6 {
 7     int i;
 8     int y = a;
 9     if((a%x!=0&&p%x==0)||(a%x==0&&p%x!=0))
10     return 0;
11     if(a%x!=p%x)
12     {
13         for(i = 1; ;i++)
14         {
15             a = y*i;
16             if(a%x==p%x)
17             break;
18         }
19     }
20     return a;
21 }
22 int main()
23 {
24     int p,e,i,d,j,k = 0;
25     int y = 21252;
26     int a = y/23;
27     int b = y/28;
28     int c = y/33;
29     while(cin>>p>>e>>i>>d)
30     {
31         k++;
32         if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1)
33         break;
34         int a1 = base(23,a,p);
35         int b1 = base(28,b,e);
36         int c1 = base(33,c,i);
37         int s = a1+b1+c1;
38         printf("Case %d: ",k);
39         if(s%y==0)
40         s=y;
41         else
42         {
43             s = s%y;
44             if(s<=d)
45             s+=y;
46         }
47         printf("the next triple peak occurs in %d days.\n",s-d);
48     }
49     return 0;
50 }

 套模板

View Code

 1 #include <iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 using namespace std;
 6 int x,y,s;
 7 int exgcd(int a,int b)
 8 {
 9     if(b==0)
10     {
11         x = 1;
12         y = 0;
13         return a;
14     }
15     int egcd = exgcd(b,a%b);
16     int temp;
17     temp = x;
18     x = y;
19     y = temp - (a/b)*y;
20     return egcd;
21 }
22 int crt(int *p,int *o)
23 {
24     int i;
25     int ans  =0;
26     for(i = 1; i <= 3 ; i++)
27     {
28         exgcd(s/o[i],o[i]);
29         x = (x+o[i])%o[i];
30         ans = (ans+s/o[i]*p[i]*x)%s;
31     }
32     return ans;
33 }
34 int main()
35 {
36     int p,e,i,d,k = 0,o[10] = {0,23,28,33},w[10],ans;
37     s = 21252;
38     while(cin>>p>>e>>i>>d)
39     {
40         if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1)
41         break;
42         int ans = 0;
43         k++;
44         w[1] = p;
45         w[2] = e;
46         w[3] = i;
47         ans = crt(w,o)-d;
48         if(ans<=0)
49         ans+=s;
50         printf("Case %d: ",k);
51         printf("the next triple peak occurs in %d days.\n",ans);
52     }
53     return 0;
54 }