\[\color{red}{\text{校长者，真神人也，左马桶，右永神，会执利笔破邪炁，何人当之？}} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{pink}{\text{The principal is really a god}} \\
\color{pink}{\text{with a closestool on the left and Yongshen on the right}} \\
\color{pink}{\text{holding a sharp pen to pierce the truth}} \\
\color{pink}{\text{Who can resist him? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{green}{\text{校長は本当に神であり、左側にトイレ、右側にヨンシェンがあり}} \\
\color{green}{\text{鋭いペンを持って真実を突き刺している。誰が彼に抵抗できるだろうか？ }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{lightblue}{\text{Le principal est vraiment un dieu}} \\
\color{lightblue}{\text{avec des toilettes à gauche et Yongshen à droite}} \\
\color{lightblue}{\text{tenant un stylo pointu pour percer la vérité}} \\
\color{lightblue}{\text{Qui peut lui résister ? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{purple}{\text{Der Direktor ist wirklich ein Gott}} \\
\color{purple}{\text{mit einer Toilette links und Yongshen rechts}} \\
\color{purple}{\text{der einen spitzen Stift hält}} \\
\color{purple}{\text{um die Wahrheit zu durchdringen.}} \\
\color{purple}{\text{Wer kann ihm widerstehen? }} \\
\hline
\end{array} \\
\begin{array}{|}
\hline
\color{cyan}{\text{Principalis deus est, Yongshen a dextris cum latrina}} \\
\color{cyan}{\text{acuto stylo ad perforandum veritatem: quis resistet ei? }} \\
\hline
\end{array} \\
\color{red}{\text{对曰：“无人，狗欲当之，还请赐教！”}} \\
\newcommand\bra[1]{\left({#1}\right)}
\newcommand\Bra[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand\dx[0]{\text{dx}}
\newcommand\string[2]{\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{#1}{#2}}
\newcommand\down[2]{{#1}^{\underline{#2}}}
\newcommand\ddiv[2]{\left\lfloor\frac{#1}{#2}\right\rfloor}
\newcommand\udiv[2]{\left\lceil\frac{#1}{#2}\right\rceil}
\newcommand\lcm[0]{\operatorname{lcm}}
\newcommand\set[1]{\left\{{#1}\right\}}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil{#1}\right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor{#1}\right\rfloor}
\]
写 \(230\) 挂成 \(30\)，真的笑麻了。以后还是稳健一点。
Problem A. 按位或 / \(\mathcal{Or}\)
先考察若没有 "被 \(3\) 整除" 这个性质怎么做。不难想到容斥，我们容斥至多哪些位置有 \(1\). 设 \(t\) 的 \(1\) 的数位个数为 \(c\)，那么有下列容斥式子：
\[ans=\sum_{i=0}^c(-1)^{c-i}\bra{{c\choose i}2^c}^n
\]
接下来我们应当考察被 \(3\) 整除的性质：用 \(10\) 进制下被三整除的性质类比，不难发现：
\[2^{2k}\equiv 1\pmod 3\qquad2^{2k+1}\equiv -1\pmod 3
\]
显然，此时一个数在二进制下，奇偶数位的地位是不等价的，因此我们把这两维分开考虑做容斥即可。设 \(t\) 的偶数位有 \(even\) 个 \(1\)，奇数位有 \(odd\) 个 \(1\)，那么最后的容斥就是：
\[ans=\sum_{i=0}^{odd}\sum_{j=0}^{even}(-1)^{odd+even-i-j}f^n(i,j)
\]
其中 \(f(i,j)\) 表示奇数位至多有 \(i\) 个，偶数位至多有 \(j\) 个的数字个数：
\[f(x,y)=\sum_{i=0}^x\sum_{j=0}^y[2i+j\equiv 0\pmod 3]{x\choose i}{y\choose j}
\]
时间复杂度 \(\mathcal O(\log^4t)\).
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Elaina {
#define rep(i, l, r) for (int i = l, i##_end_ = r; i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for (int i = l, i##_end_ = r; i >= i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define Endl putchar('\n')
template<class T> inline T fab(T x) { return x < 0? -x: x; }
template<class T> inline void getmax(T& x, const T& rhs) { x = max(x, rhs); }
template<class T> inline void getmin(T& x, const T& rhs) { x = min(x, rhs); }
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using pii = pair<int, int>;
} // namespace Elaina
using namespace Elaina;
const int mod = 998244353;
const int logt = 60;
inline void Add(int& x, const int& rhs) { (x += rhs) >= mod? x -= mod: 0; }
inline int qkpow(int a, ll n) {
int ret = 1;
for (; n; n >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
if (n & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
return ret;
}
ll n, t;
int C[105][105], ecnt, ocnt;
inline void prelude() {
C[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= 100; ++i) {
C[i][0] = C[i][i] = 1;
for (int j = 1; j < i; ++j) {
C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;
}
}
}
inline int calc(int x, int y) {
int ret = 0;
for (int i = 0; i <= x; ++i) for (int j = 0; j <= y; ++j) {
if (((i << 1) + j) % 3 == 0)
Add(ret, 1ll * C[x][i] * C[y][j] % mod);
}
return ret;
}
signed main() {
freopen("or.in", "r", stdin);
freopen("or.out", "w", stdout);
cin.tie(NULL) -> sync_with_stdio(false);
prelude(); cin >> n >> t;
for (int i = 0; i <= logt; ++i) if (t >> i & 1) (i & 1)? ++ocnt: ++ecnt;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= ocnt; ++i) for (int j = 0; j <= ecnt; ++j) {
if((ocnt + ecnt - i - j) & 1)
Add(ans, mod - 1ll * C[ocnt][i] * C[ecnt][j] % mod * qkpow(calc(i, j), n) % mod);
else Add(ans, 1ll * C[ocnt][i] * C[ecnt][j] % mod * qkpow(calc(i, j), n) % mod);
}
printf("%d\n", ans % mod);
return 0;
}
Problem B. 最短路径 / \(\mathcal {Tree}\)
先不管期望，最后我们只需要乘上 \({m\choose k}^{-1}\pmod{p}\) 即可。那么我们现在的问题是：求从 \(m\) 个点中任意选择 \(k\) 个点，找到一条经过这 \(k\) 个点的最短路径，所有方案的最短路径的长度之和。
我们应当先考察经过 \(k\) 个点的所谓 "最短路径" 的组成 —— 如果我们连要求什么都不知道，还做不做了。显然，原树上有一些边贡献了 \(2\) 次，有一些边 \(1\) 次，还有一些边根本没有贡献。而没有贡献的这些边身份很清楚 —— 他们没有在 \(k\) 个点构成的虚树上，那么出现一次和两次又是什么情况？我们不妨先走出一条从 \(u\) 开始，最后又回到 \(u\) 的路径（或者说环），那么，所有在虚树上的边都出现了两次，不过，显然我们最后是没有必要回到 \(u\) 的，我们可以去掉一条从 \(u\) 开始到某个点结束的路径，显然我们希望找最长的，这样总路径长可能最短。同理，这个环的端点不一定是 \(u\)，可能是其他的点，因此，我们去掉的长度是：
\[\max_{u,v\in P} dis(u,v)
\]
这不就是虚树的直径吗？因此，我们可以给出这个 "最短路径" 的定义：
对于一个点集 \(P(|P|=k)\)，其最短路径的长度 \(L(P)\) 定义为：
\[L(P)=\sum_{u\in P}\sum_{v\in P}dis(u,v)-D(P) \]其中 \(D(P)=\max_{u,v\in P} dis(u,v)\)，即 \(P\) 构成的虚树的直径。
我们已经弄清楚我们想要求什么了，接下来就是怎么求这个东西。显然，如果你要直接维护似乎有点困难（至少得三维，维数就已经超过限制了），但是我们发现要减去的东西似乎是独立的，我们可以先把前面那一坨 —— 指带俩 \(\Sigma\) 的东西 —— 给算出来，然后减去后面的那一坨 \(D(P)\).
前面那一坨就不说了，对于后面那一坨，我们可以枚举直径到底是哪俩点之间的路径，然后统计这一路径在哪些点集被作为直径。具体操作，我们可以枚举一个点对 \((u,v)\)，然后一个点一个点地加入点集，加入时判断这个点和左右两点之间的距离即可，注意，若距离相同，则你需要堆点集也钦定一个偏序关系，以保证同一直径不会被反复计算。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Elaina {
#define rep(i, l, r) for (int i = l, i##_end_ = r; i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for (int i = l, i##_end_ = r; i >= i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define Endl putchar('\n')
template<class T> inline T fab(T x) { return x < 0? -x: x; }
template<class T> inline T getmax(T x, const T& rhs) { x = max(x, rhs); }
template<class T> inline T getmin(T x, const T& rhs) { x = min(x, rhs); }
using ll = long long;
} // namespace Elaina
using namespace Elaina;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 2000;
const int maxm = 300;
inline int qkpow(int a, int n) {
int ret = 1;
for (; n; n >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
if (n & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
return ret;
}
int fac[maxn + 5], ifac[maxn + 5], inv[maxn + 5];
inline void prelude() {
fac[0] = fac[1] = ifac[0] = ifac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= maxn; ++i) {
fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
inv[i] = 1ll * inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;
ifac[i] = 1ll * ifac[i - 1] * inv[i] % mod;
}
}
inline int C(int n, int m) {
if (n < m || n < 0 || m < 0) return 0;
return 1ll * fac[n] * ifac[n - m] % mod * ifac[m] % mod;
}
int p[maxm + 5], n, m, K;
int id[maxn + 5];
bool iskey[maxn + 5];
vector<int> g[maxn + 5];
inline void input() {
cin >> n >> m >> K;
rep (i, 1, m) cin >> p[i], iskey[p[i]] = true, id[p[i]] = i;
int u, v;
rep (i, 1, n - 1) {
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v), g[v].push_back(u);
}
}
int dis[maxm + 5][maxn + 5];
void dfs(int u, int par, int rt, int d) {
dis[rt][u] = d;
for (int v: g[u]) if(v ^ par)
dfs(v, u, rt, d + 1);
}
int cnt[maxn + 5];
void dfs2(int u, int par) {
cnt[u] = iskey[u];
for (int v: g[u]) if (v ^ par)
dfs2(v, u), cnt[u] += cnt[v];
}
inline void calc() {
int sum = 0; /** calculate the edge which would not be considered into the answer */
rep (i, 1, m) rep (j, i + 1, m) {
int qualified = 0, d = dis[i][p[j]];
rep (k, 1, n) if (k != p[i] && k != p[j]) {
if (!iskey[k]) continue;
if (dis[i][k] > d || dis[j][k] > d) continue;
if (dis[i][k] < d && dis[j][k] < d) ++qualified;
else if (dis[i][k] == d) {
// to avoid the same situation
if (id[k] > j) ++qualified;
}
else if(dis[j][k] == d) {
if (id[k] > i) ++qualified;
}
}
sum = (sum + 1ll * C(qualified, K - 2) * d % mod) % mod;
}
int all = 0; dfs2(1, 0);
for (int i = 2; i <= n; ++i)
all = (0ll + all + C(m, K) + mod - C(cnt[i], K) + mod - C(m - cnt[i], K)) % mod;
all = ((ll)all << 1) % mod;
all = (0ll + all + mod - sum) % mod;
all = 1ll * all * qkpow(C(m, K), mod - 2) % mod;
printf("%d\n", all);
}
signed main() {
freopen("tree.in", "r", stdin);
freopen("tree.out", "w", stdout);
prelude();
input();
rep (rt, 1, m) dfs(p[rt], 0, rt, 0);
calc();
return 0;
}
Problem C. 仙人掌 / \(\mathcal{Cactus}\)
着实妙啊。考察行列式的性质，我们最后为每个点指定一条出边，最后整张图的构成只有可能有两种：两两匹配，或者是一个大环。如果是两两匹配，那么它对答案的贡献是乘上一个 \(-1\)，如果是一个大环，那么它对答案的贡献就是 \((-1)^{siz-1}2\)，其中 \(siz\) 表示这个环的大小，有 \(2\) 是因为大环可能存在两个方向。然后，我们就可以用这个东西来 \(\rm DP\)，具体的 \(\rm DP\) 过程，可以考虑建出圆方树，对于每个点定义 \(f(i,0|1)\) 表示该点是否有匹配覆盖的所有方案的和，对于方点，它的定义是其父亲是否和环中的某个点匹配的所有方案之和。然后做 \(\rm DP\) 就行了，复杂度 \(\mathcal O(n)\). 不得不说，如果你对行列式有足够掌握，并且熟悉圆方树一类的东西，那么它就是圆方树 \(\rm DP\) 的板题。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Elaina {
#define rep(i, l, r) for (int i = l, i##_end_ = r; i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, l, r) for (int i = l, i##_end_ = r; i >= i##_end_; --i)
#define fi first
#define se second
#define Endl putchar('\n')
template<class T> inline T fab(T x) { return x < 0? -x: x; }
template<class T> inline T getmax(T x, const T& rhs) { x = max(x, rhs); }
template<class T> inline T getmin(T x, const T& rhs) { x = min(x, rhs); }
using ll = long long;
} // namespace Elaina
using namespace Elaina;
/**
* @param MOD used for modulo
* @param RT the primitive root of @p MOD
*/
template<int MOD, int RT> struct Mint {
int val;
static const int mod = MOD;
Mint(ll v = 0) { val = int(-mod < v && v < mod? v: v % mod); if (val < 0) val += mod; }
inline friend bool operator == (const Mint& a, const Mint& b) { return a.val == b.val; }
inline friend bool operator != (const Mint& a, const Mint& b) { return !(a == b); }
inline friend bool operator < (const Mint& a, const Mint& b) { return a.val < b.val; }
inline friend bool operator > (const Mint& a, const Mint& b) { return a.val > b.val; }
inline friend bool operator <= (const Mint& a, const Mint& b) { return a.val <= b.val; }
inline friend bool operator >= (const Mint& a, const Mint& b) { return a.val >= b.val; }
inline Mint& operator += (const Mint& rhs) { return (*this) = Mint((*this).val + rhs.val); }
inline Mint& operator -= (const Mint& rhs) { return (*this) = Mint((*this).val - rhs.val); }
inline Mint& operator *= (const Mint& rhs) { return (*this) = Mint(1ll * (*this).val * rhs.val); }
inline Mint operator - () const { return Mint(-val); }
inline Mint& operator ++ () { return (*this) = (*this) + 1; }
inline Mint& operator -- () { return (*this) = (*this) - 1; }
inline friend Mint operator + (Mint a, const Mint& b) { return a += b; }
inline friend Mint operator - (Mint a, const Mint& b) { return a -= b; }
inline friend Mint operator * (Mint a, const Mint& b) { return a *= b; }
inline friend Mint qkpow(Mint a, ll n) {
assert(n >= 0); Mint ret = 1;
for (; n; n >>= 1, a *= a) if (n & 1) ret *= a;
return ret;
}
inline friend Mint inverse(Mint a) { assert(a != 0); return qkpow(a, mod-2); }
};
using mint = Mint<993244853, 5>;
const int maxn = 1e5;
int n, m;
struct edge { int to, nxt; } e[maxn * 4 + 5];
int tail[maxn + 5], ecnt;
inline void add_edge(int u, int v) {
e[ecnt] = edge{v, tail[u]}; tail[u] = ecnt++;
e[ecnt] = edge{u, tail[v]}; tail[v] = ecnt++;
}
inline void input() {
cin >> n >> m;
memset(tail + 1, -1, n << 2);
int u, v;
rep (i, 1, m) {
cin >> u >> v;
add_edge(u, v);
}
}
int dfn[maxn + 5], times, ncnt;
int fa[maxn + 5];
bool onCir[maxn + 5];
vector<int> g[maxn * 2 + 5];
void tarjan(int u, int par) {
dfn[u] = ++times, fa[u] = par;
for (int i = tail[u], v; ~i; i = e[i].nxt) if ((v = e[i].to) ^ par) {
if (!dfn[v]) tarjan(v, u);
else if (dfn[v] < dfn[u]) {
int x = ++ncnt, cur = u;
g[v].push_back(x);
while (cur ^ v) {
g[x].push_back(cur);
onCir[cur] = true;
cur = fa[cur];
}
}
}
if (!onCir[u]) g[fa[u]].push_back(u);
}
inline void buildtre() {
ncnt = n;
tarjan(1, 0);
}
mint f[maxn * 2 + 5][2];
inline void work(int x) {
static mint dp[maxn * 2 + 5][2];
int n = g[x].size();
/** solve @b f[x][1] first */
dp[0][0] = f[g[x][0]][0], dp[0][1] = f[g[x][0]][1];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int cur = g[x][i];
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * f[cur][0] - dp[i - 1][1] * f[cur][1];
dp[i][1] = dp[i - 1][0] * f[cur][1];
}
f[x][1] = dp[n - 1][0];
/** When there exists a match between @p x 's father & the last son */
rep (_, 0, 1) {
reverse(g[x].begin(), g[x].end());
dp[0][0] = f[g[x][0]][0], dp[0][1] = f[g[x][0]][1];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int cur = g[x][i];
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * f[cur][0] - dp[i - 1][1] * f[cur][1];
dp[i][1] = dp[i - 1][0] * f[cur][1];
}
f[x][0] -= dp[n - 1][1];
}
mint prod = 1;
for (int v: g[x]) prod *= f[v][1];
prod = 2 * prod * ((n & 1)? -1: 1);
f[x][0] += prod;
}
void dfs(int u) {
for (int v: g[u]) dfs(v);
if (u <= n) { // on tree.
f[u][1] = 1;
for (int v: g[u]) {
if (v <= n) { // simple tree edge.
f[u][0] = f[u][0] * f[v][0] - f[u][1] * f[v][1];
f[u][1] *= f[v][0];
}
else { // a square node.
f[u][0] = f[u][0] * f[v][1] + f[u][1] * f[v][0];
f[u][1] = f[u][1] * f[v][1];
}
}
} else work(u);
}
signed main() {
// freopen("cactus.in", "r", stdin);
// freopen("cactus.out", "w", stdout);
cin.tie(NULL) -> sync_with_stdio(false);
input(); buildtre(); dfs(1);
printf("%d\n", f[1][0].val);
return 0;
}
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