陶哲轩实分析习题9.1.6

设$X$是$\mathbf{R}$的子集合，证明$\overline{X}$是闭的.进而证明,若$Y$是包含$X$的闭集,那么$Y$也包含$\overline{X}$.

 

证明:$\overline{X}$是闭集的证明请见这里.下面我来证明第二点.
  \begin{align*}
    \overline{X}\subseteq Y\Rightarrow
    \overline{\overline{X}}\subseteq \overline{Y}\Rightarrow
    \overline{X}\subseteq \overline{Y}
  \end{align*}
  由于$Y$是闭集,因此
  \begin{align*}
    \overline{Y}=Y
  \end{align*}
即
\begin{align*}
  \overline{X}\subseteq Y
\end{align*}