acdream 1412 2-3Trees （组合+DP）

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mb5fdcae58218c5 2015-06-28 19:54:00

题意：2-3树的每个结点（除了叶子外）有2或3个孩子（分支），假设是一个满2-3树，那么给出叶子的数量，求这样的树有多少棵。（注：有2个孩子的结点视为相同，有3个孩子的结点视为相同，比如倒数第2层有4个结点，且叶子有4+6=10个，即2个有2孩的结点在前面，2个有3孩的结点在后面，那么头两个结点的孩子互换是视为相同的，如下图）

acdream 1412 2-3Trees （组合+DP）_结点

只要结点1234各自的孩子数不变，则视为同棵树。若具有2孩的结点跟具有3孩的结点换位置，则为不同树，比如1和3换个位置。）

思路：

（1）考虑DP，依靠叶子数量小的，推出叶子数量大的。dp[k]表示叶子数为k的树有多少棵。那么只有一个结点的情况dp[1]=1我们是知道的。

（2）如何dp？

　　dp[k]可以更新后面的点有dp[2k~3k]，将k看成倒数第2层，那么其每个结点可以决定最底层的叶子个数。比如第1个结点生2孩，其他结点生3孩，可以更新dp[1*2+(k-1)*3]。

　　这一步只需要枚举2的个数即可，2的个数可以从0→k。设k=a+b，a个生2孩，b个生3孩，那么q=a*2+b*3为我们可以更新的点，则dp[q]+=dp[k]*c[k][a]，这里c[k][a]的意思是组合数学中Ck取a的组合数。任何一个dp[x]都可能被多个不同的2-3树发展多一层而变来的，例如dp[3]可以更新dp[9]，dp[4]当3个结点生2孩，1个结点生3孩也可以更新到dp[9]，。

（3）需要预先求得c[x][y]的所有可能，因为后面可能多次引用，逐个计算复杂度会过高。利用杨辉三角可以计算C_{n取k这样的组合数。}

acdream 1412 2-3Trees （组合+DP）_结点_02

1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define LL long long
 3 using namespace std;
 4 const int N=5005;
 5 LL dp[N*3];
 6 LL c[N/2][N/2];
 7 
 8 unsigned int n,r;
 9 void pre()   //组合数，类似于一个黑色的袋子中摸出黑球和白球，黑白球代表2或3孩子，组成有序序列
10 {
11     memset(c,0,sizeof(c));
12     c[0][0]=1;
13     c[1][0]=c[1][1]=1;
14     for(int i=2;i<=n/2;i++)
15     {
16         c[i][0]=1;
17         for(int j=1;j<i;j++)
18             c[i][j]=(c[i-1][j-1]%r+c[i-1][j]%r)%r;
19 
20         c[i][i]=1;
21     }
22 }
23 void init()
24 {
25     memset(dp,0,sizeof(dp));
26     dp[1]=1;
27     for(int i=1; i<n/2+1; i++)   //从前面开始更新到后面，2500还能更新5000的，所以要循环到n/2
28     {
29         for(int j=0; j<=i; j++) //有j个2,  i-j个3
30         {
31             int q=j*2+(i-j)*3; //要更新的点
32             dp[q]=(dp[q]+(dp[i]*c[i][j]))%r;
33         }
34     }
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     //freopen("e://input.txt", "r", stdin);
40     while(~scanf("%d%d",&n,&r))
41     {
42         pre();
43         init();
44         printf("%lld\n",dp[n]);
45     }
46     return 0;
47 }