集合
对于集合\(S\),记\(\min S\)表示\(S\)中最小的元素,并定义\(F(S)=A^{\min S}\),设\([n]\)表示集合\(\{1,2,\dots,n\}\)
请求出\(E(F(S)|S\subseteq[n],|S|=k)\),对\(M =998244353\)取模
\(1\le k\le n<M,1\le k\le 10^7,1\le A <M,1\le T\le 5\)
考场上并不会推...
考虑钦定最小值,那么答案为
显然这个复杂度需要搞到\(O(k)\)
设
如果\(A_i=1\),那么答案为\(1\)
否则
那么
最后两步用了补集转换和二项式定理把复杂度搞成\(O(k)\),中间有一步用了求组合数一列的东西。
Code:
#include <cstdio>
#include <cctype>
const int N=1e7+1;
const int mod=998244353;
template <class T>
void read(T &x)
{
x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c)) c=getchar();
while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
}
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
#define mul(a,b) (1ll*(a)*(b)%mod)
int qp(int d,int k){int f=1;while(k){if(k&1)f=mul(f,d);d=mul(d,d),k>>=1;}return f;}
int fac[N],inv[N];
int main()
{
freopen("set.in","r",stdin);
freopen("set.out","w",stdout);
fac[0]=1;for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
inv[N-1]=qp(fac[N-1],mod-2);
for(int i=N-2;~i;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
int T;read(T);
while(T--)
{
int n,k,a,ans=0;
read(n),read(k),read(a);
if(a==1) {puts("1");continue;}
for(int f1=1,f2=1,i=0;i<k;i++)
{
ans=add(ans,mul(f1,mul(f2,inv[i])));
f1=mul(f1,a-1);
f2=mul(f2,n-i);
}
ans=add(qp(a,n),mod-ans);
int d=inv[k];
for(int i=n;i>n-k;i--) d=mul(d,i);
ans=mul(ans,qp(d,mod-2));
printf("%lld\n",mul(a,mul(qp(qp(a-1,k),mod-2),ans)));
}
return 0;
}
2019.3.21