1. 宇称投影算符
宇称投影算符\(\hat{P}\)作用在任意函数\(f(x)\)得到
\[\hat{P} f(x) = f(-x),
\]
三维空间中则为
\[\hat{P} f(\vec{r}) = f(-\vec{r}).
\]
如果有 \(\hat{P} f(\vec{r}) = f(-\vec{r}) = \pm f(\vec{r})\),则称 \(f(\vec{r})\) 有偶、奇宇称。
宇称算符与反对称化算符是可交换的,所以它作用在多体波函数上,即作用在其中每个单粒子基上。
2. 多体波函数
任意多体波函数 \(\Psi\) 都可以分解为偶宇称、奇宇称两部分,
\[\Psi = \Psi_{even} + \Psi_{odd}.
\]
若想从中投影出偶/奇宇称,则可以这样做:
\[\Psi_{even} = \frac{1}{2} ( 1 + \hat{P}) \Psi, ~~~ \Psi_{odd} = \frac{1}{2} ( 1 - \hat{P}) \Psi.
\]
3. 角动量、宇称投影
在前面的笔记中,已经记了一些角动量投影相关的内容,角动量投影中最重要的是所谓“kernal”的计算:
\[\langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle, \langle \Psi_1 | \hat{H} | \Psi_2 \rangle.
\]
那么如果要进行偶宇称的计算,即需要关心
\[\langle \Psi^{(1)}_{even} | \Psi^{(2)}_{even} \rangle, ~~~ \langle \Psi^{(1)}_{even} | \hat{H} | \Psi^{(2)}_{even} \rangle
\]
因为 \(\hat{P}^\dagger = \hat{P}, [ \hat{P}, \hat{H}] = 0\),容易推得
\[\langle \Psi^{(1)}_{even} | \Psi^{(2)}_{even} \rangle = \frac{1}{2} ( \langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle + \langle \Psi_1 | \hat{P} | \Psi_2 \rangle ),
\]
\[\langle \Psi^{(1)}_{even} |\hat{H}| \Psi^{(2)}_{even} \rangle = \frac{1}{2} ( \langle \Psi_1 |\hat{H}| \Psi_2 \rangle + \langle \Psi_1 | \hat{H} \hat{P} | \Psi_2 \rangle ),
\]
\[\langle \Psi^{(1)}_{odd} | \Psi^{(2)}_{odd} \rangle = \frac{1}{2} ( \langle \Psi_1 | \Psi_2 \rangle - \langle \Psi_1 | \hat{P} | \Psi_2 \rangle ),
\]
\[\langle \Psi^{(1)}_{odd} | \hat{H} | \Psi^{(2)}_{odd} \rangle = \frac{1}{2} ( \langle \Psi_1 | \hat{H} | \Psi_2 \rangle - \langle \Psi_1 | \hat{H}\hat{P} | \Psi_2 \rangle ).
\]
所以计算量增大一倍即可。