前置芝士
KMP
洛谷模板 & \(\texttt{My solution}\)
问题概括
扩展 KMP：求出字符串 \(S\) 的所有后缀与 \(T\) 的最长公共前缀长度，时间复杂度 \(\mathcal{O}(|S|+|T|)\)。
该解法思想与 KMP 类似，所以称作扩展 KMP。
解法
\(next\) 数组
定义 \(next_i\) 为 \(T\) 由 \(i\) 开始的后缀与 \(T\) 的最长公共前缀长度。（\(z\) 函数）
这是本题的第一问，也是第二问的辅助数组。
求法
显然 \(next_0=|T|\)，定义 \(n=|T|\)。
考虑求出了 \(next_{0\cdots x-1}\)，现在要求 \(next_x\)。
注：以下的图颜色相同的部分的字串都相等。
定义 \(k=\max\{j+next_j-1\}(0\le j\lt x)\) 的 \(j\)，\(p=k+next_k-1\)。
根据 \(next\) 定义，可得 \(T\) 的前缀 \(T_{0\cdots next_k-1}=T_{k\cdots n}\) 的后缀 \(T_{k\cdots p}\)。
我们在 \(T_{k\cdots p}\) 中把 \(T_{x\cdots p}\) 标注出来，因为两段灰色部分相同，可以在第一段里找到相同的位置 \(T_{x-k\cdots next_k-1}\)。
我们找到 \(next_{x-k}\)，记作 \(y\)。由于 \(next\) 的定义，\(T_{0\cdots y-1}=T_{x-k\cdots x-k+y-1}\)，在右边的灰色部分，也有一段和它完全一样的 \(T_{x\cdots x+y-1}\)。
情况一：蓝色部分小于等于红色部分，此时确定 \(next_x=y\)
情况二：蓝色部分大于红色部分，此时发现 \(x+y-1\) 已经超过了我们目前去到的最远的地方，因此从 \(p,p-x+1\)（就是第一段蓝色中位置大于红色长度的那一部分） 开始一位一位比，算出真正的 \(next_x\)。（记得要更新 \(k\) 和 \(p\)）
\(p\) 是我们当前已匹配到最远的位置，情况一 \(k\) 不会变，情况二 \(k\) 会变大，\(k\) 保持不降，时间复杂度 \(\mathcal O(|T|)\)
\(extend\) 数组
\(extend_i\) 数组表示 \(S\) 从 \(i\) 开始的后缀与 \(T\) 的最长公共前缀长度。（第二问）
求法
和 \(next\) 求法非常像。还是考虑求出了 \(extend_{0\cdots x-1}\)，现在求 \(extend_x\)
还是定义 \(k=\max\{j+extend_j-1\}(0\le j\lt x)\) 的 \(j\)，\(p=k+extend_k-1\)。
在图中画出 \(x\)，\(x-k\)，标红色。
定义 \(y=next_{x-k}\)，标出相同的三段蓝色。
这时还是可以分为两种情况。蓝色部分小于等于红色部分，存在 \(extend_x=y\)，否则需要从 \(p,p-x+1\) 开始一一比对确定 \(extend_x\)。
由于此时的 \(k\) 不降，时间复杂度 \(\mathcal O(|S|)\)
实现
我的代码中 \(next\to nxt,extend\to ext\)
const int maxn = 2e7 + 1;
const int& max2(const int& a,const int& b){return a > b ? a : b;}
char s[maxn],t[maxn];
int n,m,nxt[maxn],ext[maxn];
void calc_nxt(){
nxt[0] = n;
int j = 0;
while(j + 1 < n && t[j] == t[j + 1]) ++j;
nxt[1] = j; // nxt[0],nxt[1] 暴力算
int k = 1; // 我是把k放在循环外，p用k得到，更新的也是k
for(int i = 2;i < n;++i){
int p = k + nxt[k] - 1;
if(i + nxt[i - k] <= p) nxt[i] = nxt[i - k]; // 情况一
else {
j = max2(p - i + 1,0); // 情况二
while(i + j < n && t[i + j] == t[j]) ++j; // 情况二，暴力一位一位比对
nxt[i] = j,k = i; // 记得更新k
}
}
}
void calc_ext(){// 和刚才几乎一样
int j = 0;
while(j < n && j < m && s[j] == t[j]) ++j;
ext[0] = j; // ext[0] 暴力算
int k = 0; // 放在循环外
for(int i = 1;i < m;++i){
int p = k + ext[k] - 1;
if(i + nxt[i - k] <= p) ext[i] = nxt[i - k];// 省略讲解里的y
else {
j = max2(p - i + 1,0); // 取max
while(i + j < m && j < n && s[i + j] == t[j]) ++j; // 一位一位比对
ext[i] = j,k = i;
}
}
}
int main(){
scanf("%s%s",s,t);
n = strlen(t),m = strlen(s);
calc_nxt();calc_ext();
long long res1 = 0,res2 = 0;
for(int i = 0;i < n;++i) res1 ^= 1LL * (i + 1) * (nxt[i] + 1);
for(int i = 0;i < m;++i) res2 ^= 1LL * (i + 1) * (ext[i] + 1);
printf("%lld\n%lld\n",res1,res2);
return 0;
}
// 拜拜qwq~ （你以为我会让你直接复制代码？
