1. 微分方程与普通方程

微分方程：

  • 包含未知函数的导数的方程；
  • 其解是函数；

普通方程：

  • 它的解是一个数，或者是一组数（多项式方程）；

y′′+2y′−3y=0，y1=e−3x，y2=ex

2. ODE 与 PDE

Linear 与 NonLinear 判断的标准而是，函数的 0 阶导，1 阶导，2 阶导，…，不存在彼此相乘（哪怕是自己的 n 次幂）的情况。

注意区分，d2yd2x（2 阶导） 与 (dydx)2（一阶导的二次，非线性）。

3. 可分离方程（Separable Equation）


dydx=x21−y2⇒(1−y2)dy=x2dx


两边同时积分（与积分变量的名称无关） ⇒ 整理 ⇒ 3y−y3=x3+c

4. exact equation

重温微积分 —— 偏微分与链式法则


∂∂xψ(x,y)=∂ψ∂x+∂ψ∂ydydx


形如 M(x,y)+N(x,y)⋅dydx=0，如果满足 ψx=M(x,y),ψy=N(x,y)，则原式可进一步化为，ψx+ψy⋅dydx=0⇒∂∂xψ(x,y)=0⇒ψ(x,y)=c，就称这样的微分方程为 exact equation。

如何判断是否为 exact equation 呢，利用偏导数连续⇒ ψyx=ψxy。

5. 恰当方程求解举例


ycosx+2xey+(sinx+x2ey−1)y′=0


简单求导可知其符合恰当方程的定义，∫ψxdx=∫(ycosx+2xey)dx+f(y)（注意，最右的 f(y)），此时得到 ysinx+x2ey+f(y)，又可根据 ψy=sinx+x2ey−1 ⇒ f(y)=−y+c。

也即 ψ=ysinx+x2ey−y+c，又原式（最开始提供的） ddxψ(x,y)=0 ⇒ ψ(x,y)=c

最终解得方程的解为：ysinx+x2ey−y=c；