有一个由 \(0\) 和 \(1\) 构成的序列 \(a\) ，长度为 \(n\) .

有 \(m\) 个限制，其中第 \(i\) 个限制为区间 \([l_i,r_i]\) 中，\(1\) 必须出现至少 \(x_i\) 次.

保证一定有解.

问最少有多少个 \(1\) . 需要输出方案.

\(1\leq n\leq 2\cdot 10^5,1\leq m\leq \min(2\cdot 10^5,\frac{n(n+1)}{2})\)

做法1

看到这个至少出现 \(x_i\) 次的限制，就想到了差分约束 .

最大化 \(0\) 的个数 .

由 \(i\) 向 \(i+1\) 连一条权值为 \(1\) 的边，由 \(i+1\) 向 \(i\) 连一条权值为 \(0\) 的边 .

由 \(l_i-1\) 向 \(r_i\) 连一条全值为 \(r_i-l_i+1-x_i\) 的边 .

因为保证了有解，那么就说明没有负环 . 可以用 dijkstra .

时间复杂度 : \(O(n\log (n+m))\)

空间复杂度 : \(O(n+m)\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	int res=0;
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		res=res*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return res;
}
const int inf=1e9+10;
int n,m;
vector<pair<int,int> >g[200010];
int dist[200010];
priority_queue<pair<int,int> >Q;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	n=read();m=read();
	for(int i=0;i<n;i++){
		g[i].push_back(make_pair(i+1,1));
		g[i+1].push_back(make_pair(i,0));
	}
	for(int i=0;i<m;i++){
		int l=read(),r=read(),x=read();
		g[l-1].push_back(make_pair(r,r-l+1-x));
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)dist[i]=inf;
	dist[0]=0;
	Q.push(make_pair(-dist[0],0));
	while(!Q.empty()){
		int val=-Q.top().first,x=Q.top().second;
		Q.pop();
		if(dist[x]<val)continue;
		for(int i=0;i<(int)g[x].size();i++){
			int to=g[x][i].first,w=g[x][i].second;
			if(dist[to]>dist[x]+w){
				dist[to]=dist[x]+w;
				Q.push(make_pair(-dist[to],to));
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<dist[i-1]-dist[i]+1<<" ";
	cout<<endl;
	return 0;
}
/*inline? ll or int? size? min max?*/
做法2

这个贪心好像比较套路 . 把要求按照 \(r_i\) 为第一关键字，从小到大，\(l_i\) 为第二关键字，从大到小，排序 . 用 bit 计算连续区间 \(1\) 出现的次数 .

排完序后依次访问询问，如果当前 \(1\) 的数量不及 \(x_i\) ，那么就从后往前放入 \(1\) 并跟新 bit ，直到满足条件 .

时间复杂度 : \(O((n+m)\log(n+m))\)

空间复杂度 : \(O(n+m)\)

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	int res=0;
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		res=res*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return res;
}
int n,m;
int bit[200010];
inline int sum(int i){
	int res=0;
	while(i){
		res+=bit[i];
		i-=i&-i;
	}
	return res;
}
inline void add(int i){
	while(i<=n){
		bit[i]++;
		i+=i&-i;
	}
}
stack<int>s;
vector<pair<int,int> >v[200010];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	n=read();m=read();
	for(int i=0;i<m;i++){
		int l=read(),r=read(),x=read();
		v[r].push_back(make_pair(l,x));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sort(v[i].begin(),v[i].end());
		reverse(v[i].begin(),v[i].end());
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		s.push(i);
		for(int j=0;j<(int)v[i].size();j++){
			int l=v[i][j].first,x=v[i][j].second,num=x-sum(i)+sum(l-1);
			for(int k=0;k<num;k++){
				add(s.top());
				s.pop();
			}
		}
	//	for(int j=1;j<=n;j++)cout<<sum(j)-sum(j-1)<<" ";
	//	cout<<endl;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sum(i)-sum(i-1));
	printf("\n");
	return 0;
}
/*inline? ll or int? size? min max?*/