复杂度分析
算法本质上是一连串的计算步骤。对于同一个问题，我们可以使用不同的算法来获得相同的结果，可是在计算过程中电脑消耗的时间和资源却有很大的区别。那我们如何来比较不同算法之间的优劣性呢？
目前分析算法主要从「时间」和「空间」两个维度来进行分析。时间维度顾名思义就是算法需要消耗的时间，「时间复杂度」是常用的分析单位。空间维度代表算法需要占用的内存空间，我们通常用「空间复杂度」来分析。
所以，分析算法的效率主要从「时间复杂度」和「空间复杂度」来分析。很多时候我们两者不可兼得，有时候要用时间换空间，或者空间换时间。下面我们一起来分别了解「时间复杂度」和「空间复杂度」的计算方式。
时间复杂度
想要从「时间维度」来了解一个算法，最简单的方法就是将算法运行一遍，然后计算花费的时间就可以了。
此方法可行，可是有很多弊端。只计算运行时间特别容易受到运行环境的影响，高性能和低性能的机器上出来的结果相差甚远。而且与测试时使用的数据规模也有很大的关系。
所以我们需要一种复杂度计算方式，不受计算机性能和程序数据的影响，「大O符号表示法」(BigO)就是这种计算方式，既 T(n) = O(f(n))，它表示一个算法的渐进时间复杂度。其中 f(n) 表示代码执行次数之和，O表示正比例关系。我们来看一个例子：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
x++;
}
每个算法需要多少的运行时间呢？我们知道这个for loop有n个循环，假设其中 x++ 计算的消耗是一个单位，那么第一次循环是1单位，第二次循环是2单位，所以整个循环语句就要消耗n个单位。可以发现，消耗的单位时间随着循环的次数而变化，循环次数为1，时间为1单位；循环次数为10，时间为10单位；循环次数为n，时间为n单位。所以这个算法的「时间复杂度」可以表示为：T (n) = O(n)。
有人可能不同意了，因为严格计算下，int i = 1也要消耗1单位时间，i <= n和i++也都需要1单位时间，所以严格来说总时间是 T(n) = 1 + 3n。但是我们依然会简化为n，因为「大O表示法」用与表示计算的增长变化趋势。
在这个例子中，如果n无限大的时候，T(n) = 1 + 3n 中的常数1就没有意义了，倍数3也影响不大。所以简化为 T(n) = O(n) 就可以 了。
我们再来看一个例子：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
x++;
}
}
在外层循环中，i 总共需要n层循环，在每一次内层循环中，j 也会循环n次。如果用「大O表示法」来计算，那么两个循环语句的复杂度就是 O(n2)，如果我们将这两个算法合并到一起：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
x++;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
x++;
}
}
整个算法复杂度就变为 O(n + n2)，在n无限大的情况下，可以简化为 O(n2)。
常用的时间复杂度量级
以下便是常见的时间复杂度量级：
- 常数阶O(1)
- 对数阶O(logN)
- 线性阶O(n)
- 线性对数阶O(nlogN)
- 平方阶O(n²)
- 立方阶O(n³)
- K次方阶O(n^k)
- 指数阶(2^n)
- 阶乘O(n!)
上面的时间复杂从上到下复杂度越来越大，也意味着执行效率越来越低。以下我们来讲解一些常用的量级：
1. 常数阶O(1)
只要没有循环或递归等复杂逻辑，无论代码执行多少行，代码复杂度都为O(1)，如下：
int x = 0; int y = 1; int temp = x; x = y; y = temp;
上述代码在执行的时候，所消耗的时间不会随着特定变量的增长而增长，即使有几万行这样的代码，我们都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
2.线性阶O(n)
我们在上述的例子中讲解过O(n)的算法：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
x++;
}
在这段代码中，for循环会执行n遍，因此计算消耗的时间是随着n的变化而变化，因此这类代码都可以用O(n)来表示其时间复杂度。
3.对数阶O(logN)
来看以下的例子：
int i = 1;
while(i < n) {
i = i * 2;
}
在上面的循环中，每次i都会被乘以2，也意味着每次 i 都离 n 更进一步。那需要多少次循环 i 才能等于或大于 n 呢，也就是求解2的x次方等于n，答案x=log2^n。也就是说循环 log2^n次之后，i会大于等于n，这段代码就结束了。所以此代码的复杂度为：O(logN)。
4.线性对数阶O(nlogN)
线性对数阶O(nlogN)很好理解，也就是将复杂度为O(logN)的代码循环n遍：
for(int i = 0; i <= n: i++) {
int x = 1;
while(x < n) {
x = x * 2;
}
}
因为每次循环的复杂度为O(logN)，所以n * logN = O(nlogN)
5.平方阶O(n²)
在之前的例子我们也讲过，O(n²)就是将循环次数为n的代码再循环n遍：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
x++;
}
}
O(n²)的本质就是n * n，如果我们将内层的循环次数改为m：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
x++;
}
}
复杂度就变为 n * m = O(n * m)。
关于一些更高的阶级比如O(n³)或者O(n^k)，我们可以参考O(n²)来理解即可，O(n³)相当于三层循环，以此类推。
除了「大O表示法」还有其他「平均时间复杂度」、「均摊时间复杂度」、「最坏时间复杂度」、「最好时间复杂度」等等分析指数，但是最常用的依然是「大O表示法」。
空间复杂度
既然「时间复杂度」不是计算程序具体消耗的时间，「空间复杂度」也不是用来计算程序具体占用的空间。随着问题量级的变大，程序需要分配的内存空间也可能会变得更多，而「空间复杂度」反映的则是内存空间增长的趋势。
常用的空间复杂度
比较常用的空间复杂度有：O(1)、O(n)、O(n²)。在下面的例子中，我们用 S(n) 来定义「空间复杂度」。
1.O(1)空间复杂度
如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)：
int x = 0; int y = 0; x++; y++;
其中x, y所分配的空间不随着处理数据量变化，因此「空间复杂度」为 O(1)
2.O(n)空间复杂度
以下的代码给长度为n的数组赋值：
int[] newArray = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
newArray[i] = i;
}
在这段代码中，我们创建了一个长度为 n 的数组，然后在循环中为其中的元素赋值。因此，这段代码的「空间复杂度」取决于 newArray 的长度，也就是 n，所以 S(n) = O(n)。
以上便是「时间复杂度」和「空间复杂度」的简单介绍啦，简单来说，这两个复杂度反映的是，随着问题量级的增大，时间和空间增长的趋势。学会了复杂度的分析，我们就可以对比算法之间的优劣势啦~
