升维打击——算法问题的维度碾压

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未闻Code 2020-12-03 11:10:33 ©著作权

文章标签 java 文章分类 数据结构与算法人工智能

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升维打击——算法问题的维度碾压

摄影：产品经理吃：kingname & 产品经理在小说《三体》里面，我们知道一个词叫做降维打击，通过把对手所在空间的维度降低从而实现团灭整个星系。

但是如果对方所在的维度已经是一维了，降不动了，那么要实现维度打击的办法就是把自己的维度提升。

今天我们将会从二维的层面来解决一维的问题，把时间复杂度从O(n)降低到 O(logn)。

想必大家对斐波拉契数列已经很熟悉了：


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……

从第三位开始，每一位都是前面两位之和。

在一维层面，我们能实现的最快的解法时间复杂度为O(n)：


def fib(n):
    if n < 1:
        return 0
    if n in [1, 2]:
        return 1
    a = fib(1)
    b = fib(2)
    for i in range(3, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b

运行效果如下图所示：

知道了第1个数和第2个数，才能计算第3个数。知道了第2个数和第3个数，才能计算第4个数。时间复杂度为 O(n)。前面的数必需都计算出来，才能计算后面的数。要知道第n位数字，就需要知道第 n - 1 位数字，要知道第 n-1 位数字，就需要知道 n-2 位数字。这不是显而易见的吗？

难道还有办法在不计算第3个数的情况下，就把第4个数算出来？

斐波拉契数列是一个一维的数列，看起来就像是一条线一样。你要走到第4个数，必需先走到第3个数。

但如果你从二维的视角来看待，你就会发现实际上你可以从旁边绕过去。

现在我们假设斐波拉契数列第 n 位的值为。第 n-1位的值为。那么我们可以把它表示为一个2行1列的矩阵：

由于，所以上面的矩阵可以转换为：

再进一步转换为：

我们来复习一下矩阵的乘法：

所以

同理，

所以一路推下来：

虽然斐波那契数列没有第0个数，但是我们通过它的生成规则，可以人工设定。

于是，求斐波拉契数列第 n 位的值转换为矩阵运算

运算结果是一个2行1列的矩阵，第1行第1列这个数就是我们需要的结果。

到目前为止，矩阵运算：

看起来还是要乘n 次，时间复杂度还是 O(n)。那么优化在哪里呢？此时我们就要说到快速幂运算了。

以计算为例，看起来要进行15次乘法：


2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

但实际上，我们真正运算的时候是这样的：

所以，要计算我们可以这样写代码:


a = 2 * 2
b = a * a
c = b * b
result = c * c

所以对于，我们最多只需要计算次乘法即可解决问题（n 为偶数不加1，为奇数加1）。

这种计算方法对矩阵同样适用。并且，对于矩阵计算，Python 的 numpy 库有直接可用的函数，所以要计算一个矩阵的 n 次幂，代码非常简单：


from numpy.linalg import matrix_power
matrix_power(矩阵, n)

所以，我们使用矩阵运算来写一个求斐波那契数列的函数：


import numpy as np
from numpy.linalg import matrix_power

def fib_matrix(n):
    if n == 1:
        return 1
    matrix = np.matrix('1 1; 1 0', dtype='uint64')
    power = matrix_power(matrix, n - 1)
    base_matrix = np.matrix('1; 0')
    result_matrix = np.matmul(power, base_matrix)
    return result_matrix.item(0)

运行效果如下图所示：