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多用户MIMO系统（八）：基于用户服务质量（QoS）的设计

关键词

MIMO，多用户，用户QoS，半正定规划，半正定松弛，Matlab实现

基本介绍

本文介绍了多用户MIMO系统基于用户QoS的预编码设计，优化目标为在保证每个用户QoS的前提下最小化基站传输功率。通过引入辅助变量，发现这一优化问题可以采用半正定规划以及半正定松弛来解决，并且给出了对应的Matlab实现。

主要内容

考虑图1所示下行多用户MIMO系统，基站配置多条天线，天线数为$N$，用户均配置多天线，用户数为$K$。此处从保证用户服务质量（quality of service, QoS）的角度对发射端预编码以及功率分配策略进行设计。具体来讲，用户$k$收到的信号为：$y_k={\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_ks_k+\sum_{j\neq k}{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_js_j+n_k,$其中$n_k\sim{\mathcal{CN}}\left(0,\sigma_k^2\right)$表示用户侧加性白高斯噪声，$\sigma_k^2$为噪声功率，${s_k}\in{\mathbb C}$是基站传给用户$k$的信号，满足${\mathbb E}\left\{s_ks_k^{\dag}\right\}=1$，${\textbf w}_k\in{\mathbb C}^{N\times1}$表示用户$k$的预编码向量，${\textbf h}_k\in{\mathbb C}^{N\times1}$表示基站与用户$k$的之间的信道。对于用户$k$而言，信干噪比为$\gamma_k=\frac{\left|{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_k\right|^2}{\sum_{j\neq k}\left|{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_j\right|^2+\sigma_k^2}.$

图1：下行传输模型，一个基站服务多个用户。

此处预编码设计的策略为保证每个用户的QoS，即使得每个用户的信干噪比大于某个预设值$\bar\gamma_k$，同时使得总的传输功率$\sum_{k=1}^{K}\left|{\textbf w}_k^{\dag}{\textbf w}_k\right|$最小。问题建模为：[1]$\begin{aligned} \min_{\left\{{\textbf w}_i\right\}}~&\sum_{k=1}^{K}\left|{\textbf w}_k^{\dag}{\textbf w}_k\right|\\ {\text{s.t.}}~&\gamma_k=\frac{\left|{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_k\right|^2}{\sum_{j\neq k}\left|{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_j\right|^2+\sigma_k^2}\geq\bar{\gamma}_k,\forall k. \end{aligned}$上述问题可以采用半正定规划（Semidefinite programming，SDP）来解决[2]。定义${\textbf W}_k={\textbf w}_k{\textbf w}_k^{\dag}$，可知${\textbf W}_k\succeq{\textbf 0}$是个半正定矩阵，且${\textbf W}_k$的秩${\text{rank}}\left({\textbf W}_k\right)$为1，即${\text{rank}}\left({\textbf W}_k\right)=1$。此外，定义${\textbf H}_k={\textbf h}_k{\textbf h}_k^{\dag}$，则信干噪比可以写为：$\gamma_k=\frac{\left|{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_k\right|^2}{\sum_{j\neq k}\left|{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_j\right|^2+\sigma_k^2} =\frac{{\textbf w}_k^{\dag}{\textbf h}_k{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_k}{\sum_{j\neq k}{\textbf w}_j^{\dag}{\textbf h}_k{\textbf h}_k^{\dag}{\textbf w}_j+\sigma_k^2} =\frac{\text{Tr}\left({\textbf W}_k{\textbf H}_k\right)}{\sum_{j\neq k}\text{Tr}\left({\textbf W}_j{\textbf H}_k\right)+\sigma_k^2},$上述问题可以等价地写为：$\begin{aligned} \min_{\left\{{\textbf w}_i\right\}}~&\sum_{k=1}^{K}{\text{Tr}}\left({\textbf W}_k\right)\\ {\text{s.t.}}~&\bar{\gamma}_k\sum_{j\neq k}\text{Tr}\left({\textbf W}_j{\textbf H}_k\right)+\bar{\gamma}_k\sigma_k^2-\text{Tr}\left({\textbf W}_k{\textbf H}_k\right) \leq0,\forall k,\\ &{\textbf W}_k\succeq{\textbf 0},\forall k,\\ &{\text{rank}}\left({\textbf W}_k\right)=1,\forall k. \end{aligned}$如果将上述问题中的制约条件“${\text{rank}}\left({\textbf W}_k\right)=1$”给去掉，那么这个问题就是一个标准的凸优化问题，可以用CVX工具包直接求解[3]。由于优化变量都是半正定矩阵，这个问题也被称为半正定规划问题。因为这是个凸问题，所以CVX工具包可以直接求出它的最优解，但需要注意的是上述问题没有考虑${\text{rank}}\left({\textbf W}_k\right)=1$这一约束条件，因此这只是原问题的一个次优解。不过，幸运的是，利用KKT条件，可以推导得出上述问题的解一定满足${\text{rank}}\left({\textbf W}_k\right)=1$这个约束条件[4]。也就是说，通过求解下述松弛问题：
$\begin{aligned} \min_{\left\{{\textbf w}_i\right\}}~&\sum_{k=1}^{K}{\text{Tr}}\left({\textbf W}_k\right)\\ {\text{s.t.}}~&\bar{\gamma}_k\sum_{j\neq k}\text{Tr}\left({\textbf W}_j{\textbf H}_k\right)+\bar{\gamma}_k\sigma_k^2-\text{Tr}\left({\textbf W}_k{\textbf H}_k\right) \leq0,\forall k,\\ &{\textbf W}_k\succeq{\textbf 0},\forall k, \end{aligned}$

以下，给出具体的Matlab代码来解决上述半正定规划问题。

QoS_Signal_to_Noise_Ratio = [-5:5:25]; % 用户QoS，用信噪比表示，单位为dB
Monte_Carlo = 2000; % 蒙特卡洛仿真次数
N = 4; % 基站天线数
K = 4; % 用户数
noise = 1; % 噪声功率为0 dB
Data = ones(Monte_Carlo,length(QoS_Signal_to_Noise_Ratio));
for Monte = [1:1:Monte_Carlo]
    Tmp_Data = ones(1,length(QoS_Signal_to_Noise_Ratio));
    for QoS_index = [1:1:length(QoS_Signal_to_Noise_Ratio)]
        [Monte,QoS_index]
        snr = 10^(QoS_Signal_to_Noise_Ratio(QoS_index)/10);
        H = 1/sqrt(2)*randn(K,N) + 1j*1/sqrt(2)*randn(K,N); % MIMO信道(考虑瑞利衰落模型)
        A = ones(N,N,K); % 存储用户信道与其自身的共轭转置的乘积，即h_k*(h_k)^{H}
        for index = [1:1:K]
            A(:,:,index) = H(index,:)' * H(index,:);
        end      
        Tmp_Data(QoS_index) = CVX_QoS_SDP(A,N,snr,noise); % 利用CVX求解SDP问题
    end
    Data(Monte,:) = Tmp_Data;
end
%% 注意由于SDP问题采用CVX工具包进行数值求解，容易发生数据溢出的现象，
%  此外，由于精度等的设置，仿真出来的数据未必都是有效的数据。因此，我们
%  需要从获取的全部数据中筛选出合理的数据。此处采用的筛选办法叙述如下：
%  直观来看，用户QoS信噪比越高，所需的传输功率越大，利用这条规律，我们筛
%  选出2000条数据中，传输功率随用户QoS信噪比单调递增的数据用于绘图。
Tmp = []; % 存储筛选后的数据
for i=1:size(Data,1)
    if Data(i,:)==sort(Data(i,:)) % 判断当前数据里传输功率是否随用户QoS信噪比单调递增
        Tmp = [Tmp;Data(i,:)]; % 只留下传输功率随用户QoS信噪比单调递增的数据
    end
end
plot(QoS_Signal_to_Noise_Ratio,mean(10*log10(Tmp)),'-v');
xlabel('用户QoS [dB]');
ylabel('传输功率 [dB]');
grid on;

其中，函数CVX_QoS_SDP通过利用CVX求解SDP问题。

function [y] = CVX_QoS_SDP(A,Antenna_Number,QoS,noise)
% CVX_QoS_SDP 利用半正定规划求解MU-MISO系统保证用户QoS的预编码设计问题
% Antenna_Number 表示基站天线数
% A 存储了信道矩阵
% QoS 存储了用户QoS信噪比
% noise 存储了噪声功率
N = Antenna_Number;
snr = QoS;
cvx_clear
cvx_begin quiet
% 定义变量，一共有4个，它们都是复数半正定矩阵（complex semidefinite）
variable X1(N,N) complex semidefinite
variable X2(N,N) complex semidefinite
variable X3(N,N) complex semidefinite 
variable X4(N,N) complex semidefinite
minimize(real(trace(X1)+trace(X2)+trace(X3)+trace(X4))); % 目标函数
% 注意由于优化变量为复数，尽管目标函数的虚部为0，也需要取目标函数的实部，以保证程序不出错
% 上述注意事项也可用于制约条件
subject to % 以下为各个用户的QoS制约条件，A(:,:,i)存储了用户信道与其自身的共轭转置的乘积，即h_k*(h_k)^{H}
snr*real(trace(A(:,:,1)*X2) + trace(A(:,:,1)*X3) + trace(A(:,:,1)*X4) + noise) - real(trace(A(:,:,1)*X1)) <= 0;
snr*real(trace(A(:,:,2)*X1) + trace(A(:,:,2)*X3) + trace(A(:,:,2)*X4) + noise) - real(trace(A(:,:,2)*X2)) <= 0;
snr*real(trace(A(:,:,3)*X1) + trace(A(:,:,3)*X2) + trace(A(:,:,3)*X4) + noise) - real(trace(A(:,:,3)*X3)) <= 0;
snr*real(trace(A(:,:,4)*X1) + trace(A(:,:,4)*X2) + trace(A(:,:,4)*X3) + noise) - real(trace(A(:,:,4)*X4)) <= 0;
cvx_end
y = real(trace(X1)+trace(X2)+trace(X3)+trace(X4)); % 返回优化后的目标函数值
end

图2.8.2：基站传输功率与用户QoS信噪比的关系，信道采用瑞利衰落模型，蒙特卡洛仿真次数设置为2000，$K=4$，$\sigma^2=1$。

图2绘制了基站传输功率随用户QoS信噪比变化的曲线，从图中可以看出，增加基站天线数可以降低用户传输功率。注意，此处每个用户的QoS信噪比设置为相同取值。