涉及知识点
dp,数学（大数开方）
1：武功秘籍
小明到X山洞探险，捡到一本有破损的武功秘籍（2000多页！当然是伪造的）。他注意到：书的第10页和第11页在同一张纸上，但第11页和第12页不在同一张纸上。
小明只想练习该书的第81页到第92页的武功，又不想带着整本书。请问他至少要撕下多少张纸带走？
这是个整数，请通过浏览器提交该数字，不要填写任何多余的内容
答案
7张
2： 切面条
一根高筋拉面，中间切一刀，可以得到2根面条。
如果先对折1次，中间切一刀，可以得到3根面条。
如果连续对折2次，中间切一刀，可以得到5根面条。
那么，连续对折10次，中间切一刀，会得到多少面条呢？
答案是个整数，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。
代码
拿鞋带试了一下。。。。
发现x=2*x-1;
import java.math.BigDecimal;
import java.util.*;
public class 带分数 {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in=new Scanner (System.in);
int a=2;
for(int i=1;i<=10;i++)
{
a=a*2-1;
}
System.out.print(a);
}
}3：猜字母
把abcd…s共19个字母组成的序列重复拼接106次，得到长度为2014的串。
接下来删除第1个字母（即开头的字母a），以及第3个，第5个等所有奇数位置的字母。
得到的新串再进行删除奇数位置字母的动作。如此下去，最后只剩下一个字母，请写出该字母。
答案是一个小写字母，请通过浏览器提交答案。不要填写任何多余的内容。
代码
手算循环10次
import java.util.*;
public class 猜字母 {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in=new Scanner(System.in);
char a[]=new char[2018];
for(int i=1;i<=2014;i++)
{
if(i<=19)
{
a[i]=(char) ('a'+i-1);
}
else
{
a[i]=a[i%19];
}
}
int sum=2014;
for(int i=1;i<=10;i++)
{
int ans=0;
for(int j=1;j<=sum/2;j++)
{
a[j]=a[j*2];
ans++;
}
sum=ans;
}
System.out.print(a[1]);
}
}4： 大衍数列
中国古代文献中，曾记载过“大衍数列”, 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。
它的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50 …
其规律是：对偶数项，是序号平方再除2，奇数项，是序号平方减1再除2。
以下的代码打印出了大衍数列的前 100 项。
for(int i=1; i<100; i++)
{
if(________________) //填空
System.out.println(i*i/2);
else
System.out.println((i*i-1)/2);
}答案
i%2==0
5：圆周率
数学发展历史上，圆周率的计算曾有许多有趣甚至是传奇的故事。其中许多方法都涉及无穷级数。
图1.png中所示，就是一种用连分数的形式表示的圆周率求法。
下面的程序实现了该求解方法。实际上数列的收敛对x的初始值 并不敏感。
结果打印出圆周率近似值（保留小数点后4位，并不一定与圆周率真值吻合）。
double x = 111;
for(int n = 10000; n>=0; n--){
int i = 2 * n + 1;
x = 2 + (i*i / x);
}
System.out.println(String.format("%.4f", ______________));答案
4/（x-1）
奇怪的分式
上小学的时候，小明经常自己发明新算法。一次，老师出的题目是：
1/4 乘以 8/5
小明居然把分子拼接在一起，分母拼接在一起，答案是：18/45 （参见图1.png）
老师刚想批评他，转念一想，这个答案凑巧也对啊，真是见鬼！
对于分子、分母都是 1~9 中的一位数的情况，还有哪些算式可以这样计算呢？
请写出所有不同算式的个数（包括题中举例的）。
显然，交换分子分母后，例如：4/1 乘以 5/8 是满足要求的，这算做不同的算式。
但对于分子分母相同的情况，2/2 乘以 3/3 这样的类型太多了，不在计数之列!
注意：答案是个整数（考虑对称性，肯定是偶数）。请通过浏览器提交。不要书写多余的内容。
代码
public class _06奇怪的分式 {
public static void main(String[] args) {
// A/B x C/D = E/F A*C*F = E*B*D
int ans=0;
for(int a=1;a<10;a++)
for(int b=1;b<10;b++)
for(int c=1;c<10;c++)
for(int d=1;d<10;d++) {
int e = 10*a+c;
int f = 10*b+d;
if(a==b || c==d)
continue;
if(a*c*f==e*b*d) {
ans++;
System.out.println(a+"/"+b+" x "+c+"/"+d+" = "+e+"/"+f+" "+ans);
}
}
}
}扑克排序
A A 2 2 3 3 4 4， 一共4对扑克牌。请你把它们排成一行。
要求：两个A中间有1张牌，两个2之间有2张牌，两个3之间有3张牌，两个4之间有4张牌。
请填写出所有符合要求的排列中，字典序最小的那个。
例如：22AA3344 比 A2A23344 字典序小。当然，它们都不是满足要求的答案。
请通过浏览器提交答案。“A”一定不要用小写字母a，也不要用“1”代替。字符间一定不要留空格。
代码
public class _07扑克序列1 {
public static void main(String[] args) {
dfs(0);
}
static int[] a = new int[] {5,5,2,2,3,3,4,4};
static void dfs(int m) {
if(m>=8) {
int A1=-1,A2=-1,B1=-1,B2=-1,C1=-1,C2=-1,D1=-1,D2=-1;
for(int i=0;i<8;i++)
if(a[i]==5) {
if(A1==-1)
A1 = i;
else
A2 = i;
}else if(a[i]==2) {
if(B1==-1)
B1 = i;
else
B2 = i;
}else if(a[i]==3) {
if(C1==-1)
C1 = i;
else
C2 = i;
}else if(a[i]==4) {
if(D1==-1)
D1 = i;
else
D2 = i;
}
if(A2-A1!=2 || B2-A1!=3 || C2-C1!=4 || D2-D1!=5)
return;
for(int i=0;i<8;i++)
if(a[i]==5)
System.out.print("A");
else
System.out.print(a[i]);
System.out.println();
return;
}
for(int i=m;i<8;i++) {
swap(i,m);
dfs(m+1);
swap(i,m);
}
}
static void swap(int i,int j) {
int t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
}分糖果
有n个小朋友围坐成一圈。老师给每个小朋友随机发偶数个糖果，然后进行下面的游戏：
每个小朋友都把自己的糖果分一半给左手边的孩子。
一轮分糖后，拥有奇数颗糖的孩子由老师补给1个糖果，从而变成偶数。
反复进行这个游戏，直到所有小朋友的糖果数都相同为止。
你的任务是预测在已知的初始糖果情形下，老师一共需要补发多少个糖果。
【格式要求】
程序首先读入一个整数N(2<N<100)，表示小朋友的人数。
接着是一行用空格分开的N个偶数（每个偶数不大于1000，不小于2）
要求程序输出一个整数，表示老师需要补发的糖果数。
例如：输入
3
2 2 4
程序应该输出：
4
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 1000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
代码
import java.util.*;
public class 分糖果 {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in=new Scanner(System.in);
int n=in.nextInt();
int a[]=new int[n+2];
for(int i=0;i<n;i++)
{
a[i]=in.nextInt();
}
int ans=0;
int flag=0;
while(flag==0)
{
flag=1;
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
if(a[i]!=a[i+1])
flag=0;
}
int temp=a[0];
for(int i=0;i<n-1;i++)
{
a[i]=a[i]/2+a[i+1]/2;
if(a[i]%2==1)
{
a[i]++;
ans++;
}
}
a[n-1]=a[n-1]/2+temp/2;
if(a[n-1]%2==1)
{
a[n-1]++;
ans++;
}
}
System.out.print(ans);
}
}地宫取宝
X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2
再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
代码
本来以为只是一个简单的dfs
import java.util.*;
public class 地宫取宝 {
public static int ans=0;
public static int n,m,k;
public static int v[][]=new int[100][100];
//public static int s[]=new int[52];
//public static int p[]=new int[52];
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in=new Scanner(System.in);
n=in.nextInt();
m=in.nextInt();
k=in.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
v[i][j]=in.nextInt();
}
}
dfs(1,1,0,0);
System.out.print(ans);
}
public static void dfs(int x,int y,int t,int sum)
{
if(x==n&&y==m)
{
if((sum==k-1&&v[x][y]>t)||(sum==k))
{
ans++;
ans=ans%1000000007;
}
return ;
}
if(x>n||y>m)
return ;
if(sum>k)
return ;
if(v[x][y]>t)
{
dfs(x+1,y,v[x][y],sum+1);
dfs(x,y+1,v[x][y],sum+1);
}
dfs(x+1,y,t,sum);
dfs(x,y+1,t,sum);
return ;
}
}结果：
运行超时
import java.util.*;
public class Main {
public static int n,m,k;
public static int [][]mp=new int [52][52];
public static int [][][][]dp=new int [52][52][15][15];
public static void main(String[] args)
{
Scanner in=new Scanner(System.in);
n=in.nextInt();
m=in.nextInt();
k=in.nextInt();
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<m;j++)
{
mp[i][j]=in.nextInt();
}
}
init();
dfs(0,0,0,-1);
System.out.println(dp[0][0][0][0]);
}
public static void init()
{
for(int i=0;i<50;i++)
{
for(int j=0;j<50;j++)
{
for(int k=0;k<15;k++)
{
for(int t=0;t<15;t++)
dp[i][j][k][t]=-1;
}
}
}
}
public static int dfs(int x,int y,int num,int max)
{
if(dp[x][y][num][max+1]!=-1)//已经走过
{
return dp[x][y][num][max+1];//因为有可能有宝物价值为0，所以刚开始设置为-1，但是-1下标越界，所以要+1
}
if(x==n-1&&y==m-1)
{
if(num==k||(num==k-1)&&max<mp[x][y])
return dp[x][y][num][mp[x][y]]=1;
else
return dp[x][y][num][max+1]=0;
}
long s=0;
if(x<n-1)
{
if(max<mp[x][y])
s+=dfs(x+1,y,num+1,mp[x][y]);
s+=dfs(x+1,y,num,max);
s%=1000000007;
}
if(y<m-1)
{
if(max<mp[x][y])
s+=dfs(x,y+1,num+1,mp[x][y]);
s+=dfs(x,y+1,num,max);
s%=1000000007;
}
return dp[x][y][num][max+1]=(int)s;
}
}矩阵翻硬币
小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 ix 行，第 jy 列的硬币进行翻转。
其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。
聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
【数据格式】
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
【样例输入】
2 3
【样例输出】
1
【数据规模】
对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
代码
不会做
从别的大佬那找来的思路
这题其实最主要的就是读懂题和大数的开方方法，可以记一下。
第x行第y列被翻动的总次数？
1，考虑第1行，第y列，y有多少真因子，就会被翻动多少次，而所有的y中，只有平方数的真因子个数为奇数（约数总是成对出现的）
2，考虑第1列，第x行，x有多少真因子，就会被翻动多少次，而所有的x中，只有平方数的真因子个数为奇数
3，x,y硬币被翻动的次数=x真因子个数y真因子个数，只有奇数奇数=奇数，所以，若要x,y为反面，必须x，y都是平方数
4，因此，反面硬币总数=m中的平方数的个数*n中平方数的个数
5，那么在m中有多少个平方数呢？答案是sqrt(m)向下取整个，如9内有三个平方数1，4，9；16里面有4个平方数1，4，9，16；25内有5个平方数
6，因此此题等价于求sqrt(m)*sqrt(n)，那么怎么对一个很大的数开平方呢？
7，假设一个数的长度为length，其平方根的长度为length/2（偶数）或者length/2+1(奇数)
9，我们可以从高位不停地试探，每一个取平方后恰好不超过目标平方数的值
import java.math.BigInteger;
import java.util.*;
public class 矩阵翻硬币 {
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner in=new Scanner(System.in);
String n=in.next();
String m=in.next();
System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));
}
public static BigInteger sqrt(String s)
{
int len=s.length();
int ban=0;
if(len%2==0)
ban=len/2;
else
ban=len/2+1;
char []a=new char[ban];
Arrays.fill(a, '0');
BigInteger b=new BigInteger(s);
for(int i=0;i<ban;i++)
{
for(int j='0';j<='9';j++)
{
a[i]=(char) j;
BigInteger pow=new BigInteger(String.valueOf(a)).pow(2);
if(pow.compareTo(b)==1)
{
a[i]-=1;
break;
}
}
}
return new BigInteger(String.valueOf(a));
}
}
