n！后面有多少个0

一开始想的简单，直接写代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int f(int n) {
	if(n==0 || n==1)	return 1;
	return n*f(n-1);
}
int main() {
	int n,b,a=0;
	cin>>n;
	b=f(n);
	while(b!=0) {
		if(b%10==0)	{
			a++;
			b=b/10;
		}	
		else
			b=b/10;
	}
	cout<<a;
	return 0;
}

发现编译没有结果，重新改进了一下

#include<iostream>
using namespace std;
int f(int n) {
	int result=1;
	int num=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)
		result*=i;
	
	while(1) {
		if(result%10==0) {
			result/=10;
			num++;
		}
		else
			break;
	}
	return num;
}

int main() {
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n)<<endl;
	return 0;
}

考虑到如果n的值很大，导致数值溢出的情况，需要重新考虑。

其实，从"哪些数相乘可以得到10"这个角度，问题就变得比较的简单了。

首先考虑，如果N的阶乘为K和10的M次方的乘积，那么N!末尾就有M的0。如果将N的阶乘分解后，那么N的阶乘可以分解为： 2的X次方，3的Y次方，5的Z次方，.....的成绩。由于10 = 2 * 5,所以M只能和X和Z有关，每一对2和5相乘就可以得到一个10，于是M = MIN(X,Z),不难看出X大于Z，因为被2整除的频率比被5整除的频率高的多。所以可以把公式简化为M=Z.

由上面的分析可以看出，只要计算处Z的值，就可以得到N!末尾0的个数

方法一

    要计算Z，最直接的方法就是求出N的阶乘的所有因式(1,2,3,...,N)分解中5的指数。然后求和

#include<iostream>
using namespace std;
int f(int n) {
	int num=0,i,j;
	for(i=5;i<=n;i+=5)
	{
		j=i;
		while(j%5==0) {
			num++;
			j/=5;
		}
	}
	return num;
}

int main() {
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n)<<endl;
	return 0;
}

方法二：Z = N/5 + N /(5*5) + N/(5*5*5).....知道N/(5的K次方)等于0

公式中 N/5表示不大于N的数中能被5整除的数贡献一个5，N/(5*5)表示不大于N的数中能被25整除的数再共享一个5.......

#include<iostream>
using namespace std;

int f(int n)
{
    int num = 0;
    while(n)
    {
        num += n / 5;
        n = n / 5;
    }
    return num;
}

int main() {
	int n;
	cin>>n;
	cout<<f(n)<<endl;
	return 0;
}

参考：

N的阶乘末尾有多少个0

计算N!末尾多少个0