整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题: 1) 练练组合数学能力.
2) 练练递归思想
3) 练练DP
总之是一道经典的不能再经典的题目:
这道好题求:
1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
1.将n划分成不大于m的划分法：
1).若是划分多个整数可以存在相同的：
dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
则划分数可以分为两种情况:
a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];
2).若是划分多个不同的整数：
dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
同样划分情况分为两种情况：
a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，
并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]
2.将n划分成k个数的划分法：
dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];
方法可以分为两类：
第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分
到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩
下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]
3.将n划分成若干奇数的划分法：
g[i][j]:将i划分为j个偶数
f[i][j]:将i划分为j个奇数
g[i][j] = f[i - j][j];
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
方法可以分为两类：
第一类：i中拿出j个1分到每一份中，将剩余的i-j分成j个奇数
第二类：一份包含奇数1，剩余的i-1分成j-1个奇数；另一种，每份至少大于1，将j个1拿出来分到每一份中，其余i-j分成j份
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define nmax 51
int num[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的个数
int num1[nmax][nmax]; //将i划分为不大于j的不同的数
int num2[nmax][nmax]; //将i划分为j个数
int f[nmax][nmax]; //将i划分为j个奇数
int g[nmax][nmax]; //将i划分为j个偶数
void init() {
int i, j;
for (i = 0; i < nmax; i++) {
num[i][0] = 0, num[0][i] = 0, num1[i][0] = 0, num1[0][i] = 0, num2[i][0] =
0, num2[0][i] = 0;
}
for (i = 1; i < nmax; i++) {
for (j = 1; j < nmax; j++) {
if (i < j) {
num[i][j] = num[i][i];
num1[i][j] = num1[i][i];
num2[i][j] = 0;
} else if (i == j) {
num[i][j] = num[i][j - 1] + 1;
num1[i][j] = num1[i][j - 1] + 1;
num2[i][j] = 1;
} else {
num[i][j] = num[i][j - 1] + num[i - j][j];
num1[i][j] = num1[i][j - 1] + num1[i - j][j - 1];
num2[i][j] = num2[i - 1][j - 1] + num2[i - j][j];
}
}
}
f[0][0] = 1, g[0][0] = 1;
for (i = 1; i < nmax; i++) {
for (j = 1; j <= i; j++) {
g[i][j] = f[i - j][j];
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];
}
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
int n, k, i, res0, res1, res2, res3, res4;
init();
while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
res0 = num[n][n];
res1 = num2[n][k];
res2 = num[n][k];
for (i = 0, res3 = 0; i <= n; i++) {
res3 += f[n][i];
}
res4 = num1[n][n];
printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n", res0, res1, res2, res3, res4);
}
return 0;
}
