整除

【定义】

设a为非零整数，b为整数。若∃q∈Z，满足b=a·q，则称b可被a整除或a整除b，记作a|b，同时b是a的倍数，a是b的因子。

【整除的基本性质】

(1)a|b,b|c ⇒ a|c 
 (2)a|b,a|c⇔∀x,y∈Z ,a|(b×x+c×y) ⇔  ∀x,y∈Z, a|(b×x+c×y) 
(3)若m≠0,则a|b⇔(m⋅a)|(m⋅b)若m≠0, 则a|b⇔(m·a)|(m·b) 
(4)x,y∈Z,且∃a,b 使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a⋅b)|nx,y∈Z, 且∃a,b使ax+by=1,a|n,b|n⇒(a·b)|n

证明： 

∵a|n,b|n∵a|n,b|n 
∴ab|bn,ab|an(性质3)∴ab|bn,ab|an(性质3) 
∴ab|(anx+bny)∴ab|(anx+bny) 
∴ab|n∴ab|n


 

(5)b=q*d+c，则d|b⇔d|c

【搜索的技巧】

2的倍数 a&1什 
9的倍数各位数字之和
11的倍数 奇数位与偶数位之差 
7、11、13的倍数 末三位与前几位之差是7/11/13倍数
2n的倍数 后n位是2n的倍数