【例9.2】数字金字塔

【题目描述】

观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中,从13到8到26到15到24的路径产生了最大的和86。

【输入】

第一个行包含R(1≤ R≤1000)，表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

所有的被供应的整数是非负的且不大于100。

【输出】

单独的一行，包含那个可能得到的最大的和。

【输入样例】

5

13

11 8

12 7  26

6  14 15 8

12 7  13 24 11

【输出样例】

86

【来源】

​​No​​

 

题目分析：

动态规划最经典的例题。

正推法：

1.    确定状态：

题目要求从（1，1）出发到最底层路径权值最大，所以定义发f[x][y]是从

（1，1）到（x，y）的路径最大权值和，用f[n][j](n为固定，最后一行，j表示路径数)表示每一条路线权值和。

2.    确定状态转移方程和边界条件：

无论（1，1）到终点（x,y）如何走，只考虑最后一步怎么走。最后一步则被分为向左还是向右两种情况。

~向左：最后一步则为从（x-1,y）到（x，y），第一部分是从（0，0）走到（x-1,y）,第二部分（x-1,y）走到（x，y），则这两部分最大权值和为发f[x][y]=f[x-1][y]+a[x][y]。

~向右：最后一步则为从（x-1,y-1）到（x，y），f[x][y]=f[x-1][y-1]+a[x][y]。

则状态转移方程：f[x][y]= max（ f[x-1][y]  + f[x-1][y-1] ）+  a[x][y]

正如递归条件一样，这里我们需要对边境进行处理，以防止无限循环下去，我们发现发计算f[x][y]需要f[x-1][y]，f[x-1][y-1，这两又是由上一层得来的，最终肯定会用到发f[1][1],

F[1][1]不能用方程来求，直接赋值a[1][1].

边界条件：f[1][1]=a[1][1];

3.    程序实现：

迭达法：计算f[x][y]用到状态f[x-1][y]和f[x-1][y-1],即计算第x行数值需要用到上一行状态值，因此我们先把第一行f[1][1]=a[1][1],再从第二行开始计算每一行的有效状态即可，时间复杂度为O（n的平方）

4.    代码实现：


#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
 int a[maxn][maxn],i,j,f[maxn][maxn];     //f记录权值和
int main()
{

    memset(f,0,sizeof(f));             //先将f全部赋值为0
    int n;                            //n行
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
        cin>>a[i][j];                  //输出各个节点数字
     f[1][1]=a[1][1];                 //对f初始化，相当于边界条件
     for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
         f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j];
     int maxx=0;
     for(i=1;i<=n;i++)               //计算最大权值和
        maxx=max(maxx,f[n][i]);   
        cout<<maxx<<endl;
         return 0;
}