文章目录

  • 乘法
    • 原理
    • 十进制分解
    • 程序示例
    • 运算结果
  • 除法
    • 原理
    • 十进制分解
    • 程序示例
    • 运算结果

 

  在嵌入式环境中虽然有乘法运算器，而且芯片运算速度越来越快，但位运算还是最快速的，为了提高计算效率，可以将乘法运算使用位运算替换。

乘法

原理

  若被乘数是2的整数倍，可以直接进行左移运算，这个比较简单，本文解释下当被乘数不是2的整数倍的情况，乘法进行位运算替换的基本原理，分两步

  1. 因式分解： A ∗ ( B + C ) = A ∗ B + A ∗ C A * (B + C) = A * B + A * C A∗(B+C)=A∗B+A∗C
  2. 位移替换乘法 ： A ∗ 2 n = A &lt; &lt; n A * 2 ^ n = A &lt;&lt; n A∗2n=A<<n

十进制分解

  以10的整数倍为例，进行10进制替换：
10 = 8 + 2 = 2 3 + 2 1 10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1 10=8+2=23+21
100 = 64 + 32 + 4 = 2 6 + 2 5 + 2 2 100 = 64 + 32 + 4 = 2^6 + 2^5 + 2^2 100=64+32+4=26+25+22
1000 = 1024 − 16 − 8 = 2 10 − 2 4 − 2 3 1000 = 1024 - 16 - 8 = 2^{10} - 2^4 - 2^3 1000=1024−16−8=210−24−23

程序示例

a = 543
m10 = 10 # 10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1
m100 = 100 # 100 = 64 + 32 + 4 = 2^6 + 2^5 + 2^2
m1000 = 1000 # 1000 = 1024 - 16 - 8 = 2^10 - 2^4 - 2^3

am10_cheng0 = a * m10
am100_cheng0 = a * m100
am1000_cheng0 = a * m1000
am10_cheng1 = (a << 3) + (a << 1)
am100_cheng1 = (a << 6) + (a << 5) + (a << 2)
am1000_cheng1 = (a << 10) - (a << 4) - (a << 3)
print ("乘以10:",am10_cheng0,"  ",am10_cheng1)
print ("乘以100:",am100_cheng0,"  ",am100_cheng1)
print ("乘以1000:",am1000_cheng0,"  ",am1000_cheng1)

运算结果

  将源码保存为python文件，使用python直接执行可以查看结果，结果如下：
使用二进制位运算，代替十进制乘法（除法）运算_编程环境

除法

原理

  跟乘法类似，若分母为2的整数倍，则直接进行右移运算，但若分母不是2的整数倍，则需要对分母进行分解。不过由于除法不能直接分解分母，需要将分母作为独立项进行拆分，除法位运算替换的基本原理，分三步

  1. 分子分母分离： B A = B ∗ 1 A \frac{B}{A} =B * \frac{1}{A} AB​=B∗A1​
  2. 分母算术分解： 1 A = ∑ 1 2 n \frac{1}{A} =\sum\frac{1}{2^n} A1​=∑2n1​
  3. 位移替换乘法 ： B 2 n = B &gt; &gt; n \frac{B}{2 ^ n} = B &gt;&gt; n 2nB​=B>>n

十进制分解

  由于第二步的分母算术分解不容易，即不容易找到精确解，因此分数分解为 1 2 \frac{1}{2} 21​的整数倍的和比较麻烦，而且若需要较高精度则需要更高阶的倍数，即其中的n要很大，以10为例：

1 16 + 1 32 + 1 256 + 1 512 = 0.0996 ≈ 0.1 = 1 10 \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{256} + \frac{1}{512} = 0.0996 \approx0.1=\frac{1}{10} 161​+321​+2561​+5121​=0.0996≈0.1=101​

使用二进制位运算，代替十进制乘法（除法）运算_其他_02使用二进制位运算，代替十进制乘法（除法）运算_嵌入式_03

  若在有限位内可以找到精确解，即灯饰两边刚好相等，而不是约等于，则可以进行分解运算，但是这样多运算也许并不比直接除法更快，因此如果除法的分母不是2的整数倍，而且并没有确定的分解方式，可以考虑直接使用除法。

1 10 ≈ 1 16 + 1 32 + 1 256 + 1 512 + 1 4096 = 1 2 4 + 1 2 5 + 1 2 8 + 1 2 9 + 1 2 12 \frac{1}{10} \approx \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{256} + \frac{1}{512} + \frac{1}{4096} = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{2^{12}} 101​≈161​+321​+2561​+5121​+40961​=241​+251​+281​+291​+2121​

程序示例

a = 543
m10 = 10 

# 1/10 ~= 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + 1/4096 
#       = 1/2^4 + 1/2^5 + 1/2^8 + 1/2^9 + 1/2^12
am10_chu0 = int(a / m10)
am10_chu1 = (a >> 4) + (a >> 5) + (a >> 8) + (a >> 9) + (a >> 12)
print ("除以10:",am10_chu0,"  ",am10_chu1)

运算结果

  将源码保存为python文件，使用python直接执行可以查看结果，结果如下：
使用二进制位运算，代替十进制乘法（除法）运算_其他_04