1. 误差反馈
1.1 误差反馈校正权重矩阵
可以理解，输出和误差都是多个节点共同作用的结果，那么该如何更新链接权重？
思考一下，得到误差后，该怎么分配？平均分的话是否会有失公平？毕竟我们在之前的学习中了解到，前一层每个节点的贡献都是不一样的。考虑极端情况，当某权重为0时，它对下一个节点的贡献为0；这时如果误差仍然平均分配显然是不那么合适的。
但我们很容易想到这个标准：较大链接权重的连接分配更多的误差。
将同样的思想扩展到多个节点。如果我们拥有100个节点链接到输出节点，那么我们要在这100条链接之间，按照每条链接对误差所做贡献的比例（由链接权重的大小表示），分割误差。
我们使用权重，将误差从输出向后传播到网络中。我们称这种方法为反向传播。
1.2 多个输出节点反向传播误差
第一个输出节点的误差标记为e1 = ( t1 - o1)。
按照所连接链接的比例，也就是权重w 1,1 和ｗ2,1 ，对误差e 1 进行分割。同理，按照权重w 1,2 和ｗ 2,2 的比例分割e2 。
1.3 反向传播误差到更多层中
将输出误差标记为eoutput ，将在输出层和隐藏层之间的链接权重标记为who 。通过将误差值按权重的比例进行分割，我们计算出与每条链接相关的特定误差值。采用与隐藏层节点相关联的这些误差ehidden ，再次将这些误差按照输入层和隐藏层之间的链接权重wih 进行分割。
如果神经网络具有多个层，那么我们就从最终输出层往回工作，对每一层重复应用相同的思路。
具有实际数字的3层网络中，误差如何向后传播：
进一步向后工作：
1.神经网络通过调整链接权重进行学习。这种方法由误差引导，误差就是训练数据所给出正确答案和实际输出之间的差值。
2.简单地说，在输出节点处的误差等于所需值与实际值之间的差值。
3.与内部节点相关联的误差并不显而易见。一种方法是按照链路权重的比例来分割输出层的误差，然后在每个内部节点处重组这些误差。
1.4 使用矩阵乘法进行反向传播误差
计算的起始点是在神经网络最终输出层中出现的误差。
为隐藏层的误差构建矩阵。
可以观察到，最重要的事情是输出误差与链接权重wij 的乘法。这些分数的分母是一种归一化因子。如果我们忽略了这个因子，那么我们仅仅失去后馈误差的大小。也就是说，可以使用简单得多的
e1* w1,1 来代替e1* w1,1/ ( w1,1 + w2,1)。
因此，我们得到所希望的矩阵，使用矩阵的方法来向后传播误差：
反向传播误差可以表示为矩阵乘法。
无论网络规模大小，这使我们能够简洁地表达反向传播误差。
前向馈送信号和反向传播误差都可以使用矩阵计算而变得高效。
2.更新权重
2.1 梯度下降法
目前我们已经完成了让误差反向传播到网络的每一层，我们的目的是要使用误差来指导如何调整链接权重，从而使得神经网络更适合这个样本集，输出更准确的答案。
如果我们将复杂困难的函数当作网络误差，那么找到最小值就意味着最小化误差。这样我们就可以改进网络输出。如此我们就可以理解要用梯度下降法来更新权重的意义所在了。
可以从梯度的物理意义上直观理解，就像是在三维地形中，在曲面的任意一点放置一个静止的小球，在重力作用下小球会向下滚动，那么初始时刻，小球滚动的方向一定是该点周围下降最明显的地方，即负梯度方向。但最终小球会在摩擦力和重力作用下停下，可以想象，这必是一个“凹谷”，也就是这个三维曲面的（局部）极小值。
但如果这个地形非常复杂，我们掉入的仅仅是这个点周围某个“凹谷”，而非整个地形中最低（即我们所要求的最小值）呢？该如何解决这个问题？
首先，采用梯度下降法，我们必须选择一个起点。
这一次，我们所在之处的斜率为正，因此我们向左移动。
为了避免超调，避免在最小值的地方来回反弹，就要改变步子大小，这是一个必要的优化。
回想刚刚的问题，如果恰好掉入了错误的山谷怎么办？记得我们刚刚讲的随机选择起点吗？我们可以随机取，并且多次取，尽可能地，把错误的结果过滤掉。多次训练神经网络，确保并不总是终止于错误的山谷。
不同的起始点意味着选择不同的起始参数，在神经网络的情况下，这意味着选择不同的起始链接权重。
像这样的尝试，终究会带领我们走进正确的山谷。
2.2 误差函数
那么，梯度下降法所作用的误差函数应该如何构造呢？像我们之前那样，目标值 - 真实值 = 误差？但这种情况下的误差会有正负，一旦我们求和，就有可能得到非常趋近于0的结果，这会让我们误以为误差很小。
误差函数如何构造?看下表：
第三种选择是差的平方，即（目标值-实际值）^ 2 。我们更喜欢使用第三种误差函数，而不喜欢使用第二种误差函数，原因有以下几点：
- 使用误差的平方，我们可以很容易使用代数计算出梯度下降的斜率。
- 误差函数平滑连续，这使得梯度下降法很好地发挥作用——没有间断，也没有突然的跳跃。
- 越接近最小值，梯度越小，这意味着，如果我们使用这个函数调节步长，超调的风险就会变得较小。
下图显示了两个链接权重，这次，误差函数是三维曲面，这个曲面随着两个链接权重的变化而变化。
这个表达式表示了当权重wj,k 改变时，误差E是如何改变的。这是误差函数的斜率，也就是我们希望使用梯度下降的方法到达最小值的方向。下为推导过程：
第一部分就是（目标值-实际值）。在sigmoid中的求和表达式也很简单，就是进入最后一层节点的信号，我们可以称之为ik ，这样它看起来比较简单。这是应用激活函数之前，进入节点的信号。最后一部分是前一隐藏层节点j的输出。
同理，得到输入层和隐藏层之间权重调整：
权重改变的方向与梯度方向相反，我们用数学的形式来表达这个因子。
（和之前在线性分类器里学到的是不是原理相同？
new A = old A + ΔA）更新后的权重wj,k 是由刚刚得到误差斜率取反来调整旧的权重而得到的。正如我们先前所看到的，如果斜率为正，我们希望减小权重，如果斜率为负，我们希望增加权重，因此，我们要对斜率取反。符号α是一个因子，这个因子可以调节这些变化的强度，确保不会超调。我们通常称这个因子为学习率。同理，这个表达式不仅适用于隐藏层和输出层之间的权重，而且适用于输入层和隐藏层之间的权重。
由于学习率只是一个常数，并没有真正改变如何组织矩阵乘法，因此我们省略了学习率α。
1.神经网络的误差是内部链接权重的函数。
2.改进神经网络，意味着通过改变权重减少这种误差。
3.直接选择合适的权重太难了。另一种方法是，通过误差函数的梯度下降，采取小步长，迭代地改进权重。所迈出的每一步的方向都是在当前位置向下斜率最大的方向，这就是所谓的梯度下降。
4.使用微积分可以很容易地计算出误差斜率。
2.3 误差更新成功范例
更新隐藏层和输出层之间的权重w1,1 。当前，这个值为2.0。
- 第一项（tk-ok ）得到误差e 1 = 0.8。
- S函数内的求和Σj wj,k oj 为（2.0×0.4）+（3.0 * 0.5）= 2.3。
- sigmoid 1/(1 + e-2.3) 为0.909。中间的表达式为0.909 *（1-0.909）=0.083。
- 由于我们感兴趣的是权重w1,1 ，其中j=1，因此最后一项oj 也很简单，也就是oj = 1 。此处，oj 值就是0.4。
- 将这三项相乘，最后我们得到-0.0265。
如果学习率为0.1，那么得出的改变量为- （0.1 * -0.02650）= +0.002650。因此，新的w1,1 就是原来的2.0加上0.00265等于2.00265。
