字符串哈希入门

说得通俗一点，字符串哈希实质上就是把每个不同的字符串转成不同的整数。

为什么会有这样的需要呢？很明显，存储一个超长的字符串和存储一个超大但是能存的下的整数，后者所占的空间会少的多，但主要还是为了方便判断一个字符串是否出现过，这是最基础的部分。

当然也很容易想到，如果有不同的字符串转成同一个整数，那么区分功能就基本废掉 ，所以我们需要一个算法把每个字符串转成唯一的整数。所以字符串哈希算法就应运而生，哈希算法的难点也就在于如何构造一个合适的Hash函数来满足我们的需求。

下面就简单介绍几种字符串哈希的基本方法。

基本哈希方法

一般地，给定一个字符串 \(S=s_1s_2s_3s_4...s_n\)，令\(idx(x)=x-'a'+1\)，当然，直接(int)x（用它的ASCll码）也一样。

自然溢出法

这种方法是利用数据结构unsigned long long的范围自然溢出：即当存储的数据大于unsigned long long的存储范围时，会自动mod \(2^{64}-1\)，就不用mod其他质数来保证唯一性了。

Hash公式

unsigned long long Hash[n]
hash[i]=hash[i−1]∗p+idx(s[i]);

注意：这里的p一定要是个质数，不然可能无法保证唯一性。

单Hash法

相当于自然溢出法没有了自动取模的操作，所以需要自己进行取模操作。但是这种Hash方法在模数较小的时候的稳定性不一定得到保证，所以在这个方面不如其他方法。

Hash公式

hash[i]=(hash[i−1])∗p+idx(s[i])%mod;

注意：这里的\(p\)和\(mod\)都是质数，且满足\(p<mod\)。最好在选取的时候把\(p\)和\(mod\)的值取大一点。

举例

如取\(p=13,mod=101\)，对字符串\(abc\)进行Hash

hash[0]=1;
hash[1]=(hash[0] × 13 + 2)%101=15;
hash[2]=(hash[1] × 13 + 3)%101=97;

所以最终字符串\(abc\)的hash值就是97

双Hash法

其实网上很多博客讲了多Hash，但我觉得双Hash已经足够稳定了，再多一些也只是浪费时间而已。

顾名思义，双Hash就是对一个hash值用两个不同的质数进行两次\(mod\)操作，然后最后用一对数\(<hash1[n],hash2[n]>\)来表示一个字符串的哈希值，这样的一对数的重复几率加上选择较大的质数，冲突率几乎为0。

Hash方法

hash1[i]=(hash1[i−1])∗p+idx(s[i]) % mod1
hash2[i]=(hash2[i−1])∗p+idx(s[i]) % mod2

这样的哈希很安全

Hash素数的选择

为了防止冲突，要选择合适的素数，像1e9+7,1e9+9的一些素数，出题人一般会卡一下下，所以尽量选择其他的素数，防止被卡。下面是一些可供选择的素数。
上界和下界指的是离素数最近的\(2^n\)的值。

lwr

upr

% err

prime

2^5

2^6

10.416667

53

2^6

2^7

1.041667

97

2^7

2^8

0.520833

193

2^8

2^9

1.302083

389

2^9

2^10

0.130208

769

2^10

2^11

0.455729

1543

2^11

2^12

0.227865

3079

2^12

2^13

0.113932

6151

2^13

2^14

0.008138

12289

2^14

2^15

0.069173

24593

2^15

2^16

0.010173

49157

2^16

2^17

0.013224

98317

2^17

2^18

0.002543

196613

2^18

2^19

0.006358

393241

2^19

2^20

0.000127

786433

2^20

2^21

0.000318

1572869

2^21

2^22

0.000350

3145739

2^22

2^23

0.000207

6291469

2^23

2^24

0.000040

12582917

2^24

2^25

0.000075

25165843

2^25

2^26

0.000010

50331653

2^26

2^27

0.000023

100663319

2^27

2^28

0.000009

201326611

2^28

2^29

0.000001

402653189

2^29

2^30

0.000011

805306457

2^30

2^31

0.000000

1610612741

获取子串的hash

如果我们求出一个串的Hash，就可以\(O(1)\)求解其子串的Hash值。
公式的推导太复杂...干脆直接贴上来 （绝对不是我想偷懒）

公式

若已知一个\(|S|=n\)的字符串的hash值，\(hash[i]\),\(1≤i≤n\)，其子串\(sl..sr,1≤l≤r≤n\)，对应的hash值为：
\[ hash=((hash[r]−hash[l−1]∗p^{r−l+1})\%mod+mod)\%mod \]
ov.