degree符号 怎么打出来 degree怎么用

度 / 自由度的理解

• 度（degree）/ 自由度，也叫valency（直译化合价），是指Graph(图)中一个节点，有多少条边连接其上。
• 图的度是其所有节点的度中最大值。对于“度”的理解，结合自由度，和化合价这个英文原词来理解，本意应该是衡量一个节点与外界连通性的度量。
• 例如在计算二阶导数时

• 一元函数（一维函数）其公式如下，直观上可以理解为：其二阶导数等于其在所有自由度上微扰之后获得的增益。一维函数其自由度可以理解为2，分别是+1方向和-1方向.

$\begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} &= f^{\prime}(x)-f^{\prime}(x-1) \\ &= f(x+1) - f(x) - (f(x) - f(x-1)) \\ &= f(x+1) + f(x-1) - 2f(x) \\ &= [f(x+1) - f(x)] + [f(x-1) - f(x)] \end{aligned}$

• 二元函数（二维函数）其二阶导数如下，直观理解时可以类比二维图像（二维图像可以看做特殊形式的二维函数），类似一维函数的二阶导数，只是二维函数的自由度更多（用于计算函数二阶导数的方向），下面公式包含了4个自由度，$(1, 0), (-1,0), (0, 1), (0, -1)$.

$\begin{aligned} (\Delta f)_{x,y} &= \frac{\partial f(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y^2} \\ &\approx f(x+1,y) + f(x-1,y) - 2f(x,y) + f(x, y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y) \\ & = f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x, y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) \\ &= [f(x+1,y) - f(x,y)]+[f(x-1,y) - f(x,y)]+[f(x,y+1) - f(x,y)]+[f(x,y-1) - f(x,y)] \end{aligned}$

• 参考链接1，其实《数字图像处理》书中对于二阶导数的定义也是考虑到了8个自由度。

(对于图像的二阶导数)还可以任意的定义自由度，比如对角线也算的话，就是8个自由度。在卷积时，使用的拉普拉斯模板就对应着1种方式的自由度定义

综上，度的概念，虽然对于不同对象有不同的具体定义，但是直觉上理解，我认为是函数上的某点，或者Graph上某点与其周边环境（邻接的点）的连通程度。一维函数上一点只能向左或者向右移动，因此度是2；二维函数可以向左右上下，甚至左上右下移动，因此度可以是4，8，甚至自定义更多；对于Graph上的节点node而言，其度就是连接到该节点的边的数量，同样是代表了这个节点连接到了多少个其他节点。

最后补充，这种直观上的理解对于进一步理解拉普拉斯算子（尤其是Graph上的拉普拉斯算子）有很大帮助，如链接1中提到的：

这给我们一种形象的结论：拉普拉斯算子就是在所有自由度上进行微小变化后获得的增益 (另一种说明，Informally, the Laplacian measures how different the value of f at p is from the average value of the neighbors)。

参考：

1. http://xtf615.com/2019/02/24/gcn/