787. K 站中转内最便宜的航班

787. K 站中转内最便宜的航班

方法一：递归

class Solution:    
    def findCheapestPrice(self, n: int, flights: List[List[int]], src: int, dst: int, k: int) -> int:     
        sdp = defaultdict(list)        
        for s,d,p in flights:
            sdp[s].append([d,p])

        @lru_cache(None)
        def dfs(c, t):           
            if c == dst: return 0  # c 就是目标城市，票价为 0            
            if t > k: return inf # 中转次数 t > k 不可达               
            ans = inf
            for d,p in sdp[c]:                
                ans = min(ans, dfs(d,t+1) + p)
            
            return ans
        
        res = dfs(src, 0)
        return res if res != inf else -1

方法二：记忆化搜索

class Solution:    
    def findCheapestPrice(self, n: int, flights: List[List[int]], src: int, dst: int, k: int) -> int:     
        sdp = defaultdict(list)        
        for s,d,p in flights:
            sdp[s].append([d,p])

        # @lru_cache(None)
        def dfs(c, t):
            if c == dst: return 0
            if t > k: return inf    
            if memo[c][t]: return memo[c][t]
            ans = inf
            for d,p in sdp[c]:                
                ans = min(ans, dfs(d,t+1) + p)
            memo[c][t] = ans
            return ans
        memo = [[0]*(k+1) for _ in range(n)]
        res = dfs(src, 0)
        return res if res != inf else -1

方法三：动态规划

$f[t][d]$ 表示从城市 $\textit{src}$ 出发，经过 $t$ 次航班（$t-1$ 中转），到达城市 $d$ 所需的最少花费。枚举直达 $d$ 的 $s$，那么前 $t-1$ 次航班到达 $s$ 的花费 $f[t-1][s]$ 加上最后一次航班的花费 $\textit{cost}(s, d)$ 中的最小值，即为 $f[t][d]$。

即：

$f[t][d] = \min_{(s, d) \in \textit{flights}} \big\{ f[t-1][s] + \textit{cost}(s, d) \big\}$

其中 $(s, d) \in \textit{flights}$ 表示从城市 $s$ 到达城市 $d$ 的航班，$\textit{cost}(s, d)$

由于最多中转 $k$

$f[1][\textit{dst}], f[2][\textit{dst}], \cdots, f[k+1][\textit{dst}]$

中的最小值。

$f[0][src] = 0$

注意到 $f[t][d]$ 只会从 $f[t-1][..]$

下面的代码使用二维数组进行状态转移。

class Solution:    
    def findCheapestPrice(self, n: int, flights: List[List[int]], src: int, dst: int, k: int) -> int:       
        f = [[inf] * n for _ in range(k+2)]
        f[0][src] = 0
        for t in range(1, k+2):
            for s, d, cost in flights:
                f[t][d] = min(f[t][d], f[t-1][s] + cost)
        
        ans = min(f[t][dst] for t in range(1, k+2))
        return -1 if ans == inf else ans

下面的代码使用两个一维数组进行状态转移。

class Solution:    
    def findCheapestPrice(self, n: int, flights: List[List[int]], src: int, dst: int, k: int) -> int:       
        f = [inf] * n
        f[src] = 0
        ans = inf
        for t in range(1, k + 2):
            g = [inf] * n
            for s, d, cost in flights:
                g[d] = min(g[d], f[s] + cost)
            f = g
            ans = min(ans, f[dst])
        
        return -1 if ans == inf else ans