19.Algorithm Gossip: 完美数

说明

如果有一数n，其真因数（Proper factor）的总和等于n，则称之为完美数（Perfect Number）， 例如以下几个数都是完美数：

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

程式基本上不难，第一眼看到时会想到使用回圈求出所有真因数，再进一步求因数和，不过若n 值很大，则此法会花费许多时间在回圈测试上，十分没有效率，例如求小于10000的所有完美数 。

解法

如何求小于10000的所有完美数？并将程式写的有效率？基本上有三个步骤：

求出一定数目的质数表

利用质数表求指定数的因式分解

利用因式分解求所有真因数和，并检查是否为完美数

步骤一 与 步骤二 在之前讨论过了，问题在步骤三，如何求真因数和？方法很简单，要先知道将所有真因数和加上该数本身，会等于该数的两倍，例如：

2 * 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28

等式后面可以化为：

2 * 28 = (20 + 21 + 22) * (70 + 71)

所以只要求出因式分解，就可以利用回圈求得等式后面的值，将该值除以2就是真因数和了；等式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解，不过会使用到次方运算，可以在回圈走访因式分解阵列时，同时计算出等式后面的值，这在下面的实作中可以看到。

代码示例

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h>
#define N 1000
#define P 10000

    int prime(int*);    // 求质数表
    int factor(int*, int, int*);    // 求factor
    int fsum(int*, int);    // sum ot proper factor


    int main(void) {
        int ptable[N+1] = {0}; // 储存质数表
        int fact[N+1] = {0};    // 储存因式分解结果
        int count1, count2, i; count1 = prime(ptable);
        for(i = 0; i <= P; i++) {
            count2 = factor(ptable, i, fact); if(i == fsum(fact, count2))
                printf("Perfect Number: %d\n", i);
        }

        printf("\n");

        return 0;
    }

    int prime(int* pNum) { int i, j;
        int prime[N+1];

        for(i = 2; i <= N; i++) prime[i] = 1;

        for(i = 2; i*i <= N; i++) { if(prime[i] == 1) {
            for(j = 2*i; j <= N; j++) { if(j % i == 0)
                prime[j] = 0;
            }
        }
        }

        for(i = 2, j = 0; i < N; i++) { if(prime[i] == 1)
            pNum[j++] = i;
        }

        return j;

    }

    int factor(int* table, int num, int* frecord) { int i, k;

        for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) { if(num % table[i] == 0) {
            frecord[k] = table[i]; k++;
            num /= table[i];

        }
        else

        }



        i++;


        frecord[k] = num;

        return k+1;
    }

    int fsum(int* farr, int c) { int i, r, s, q;

        i = 0;
        r = 1;
        s = 1;
        q = 1;

        while(i < c) { do {
            r *= farr[i]; q += r; i++;
        } while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]); s *= q;
            r = 1;
            q = 1;
        }

        return s / 2;
    }