导读
上一期介绍了多元线性回归分析的基本原理、前提条件和分析步骤，今天我们介绍多元线性回归分析的SAS实现。
四、多元线性回归SAS实现
分析例题：研究血红素(HAEM)与4种微量元素钙(CA)、铁(FE)、铜(CU)、锌(ZN)的关系。
(一)散点图判断变量间的线性趋势
PROC SGSCATTER DATA=REG; PLOT (CA FE CU ZN P)*HAEM/REG;RUN;
图11-1 散点图矩阵
图11-1变量HAEM与变量CA、FE、ZN、P存在线性关系，但是变量CA、FE、ZN、P间也存在线性相关。
(二)回归模型拟合
1. 构建CA、FE、ZN、P四个自变量关于因变量HAEM的回归模型
PROC REG DATA=REG; MODEL HAEM=CA FE ZN P/TOL VIF COLLIN DW INFLUENCE;RUN;
图11-2 模型假设检验结果
图11-2显示：F=10.76，P<0.0001，拟合的模型有统计学意义。
图11-2 模型的拟合优度信息
图11-2结果显示：决定系数R2为0.3586，表示回归模型能够解释因变量HAEM总变异的35.86%。
图11-3 回归模型的参数估计结果
图11-3显示了模型回归系数，模型中变量FE的回归系数(t=3.56，P= 0.0006)有统计学意义，其他变量回归系数无统计学意义。
图11-4 模型的多重共线性诊断结果
由图11-3中最后两列分别为容忍度和方差膨胀因子，结果显示CA和P的容忍度较小，其方差膨胀因子较大，表明与其他变量间存在多重共线性；图11-4结果显示条件指数(ConditionIndex)f=36.96979，表明变量间存在严重的内相关性。由最后一行可知，变量CA与变量P间的方差比例值分别为0.95648、0.69567，表明变量CA和P具有较强的共线性。如果一个模型中同时包含这两个变量，得到的结果会很不稳定，甚至产生误导。CA的方差比例大于P的方差比例，可考虑将变量ZN排除模型重新拟合。经两次共线性诊断剔除变量CA和ZN重新构建模型。
2. 构建FE、P四个自变量关于因变量HAEM的回归模型(此处省略详细的SAS结果)
PROC REG DATA=REG; MODEL HAEM= FE P/TOL VIF COLLIN DW INFLUENCE;RUN;结果显示模型假设有统计学意义(F=17.48,P<0.0001)，R2=0.3068，模型参数估计结果显示变量FE(t=5.10,P<0.0001)，P(t=17.48,P=0.332)。剔除回归系数无统计学意义的变量P，再构建模型。
3. 构建FE四个自变量关于因变量HAEM的回归模型
PROC REG DATA=REG; MODEL HAEM= FE /TOL VIF COLLIN INFLUENCE;RUN;
图11-5 最终模型假设检验结果
图11-6 最终模型的拟合优度信息
图11-7 最终回归模型的参数估计结果
图11-5至图11-7结果显示模型假设有统计学意义(F=43.59，P<0.0001)，R2=0.3771，模型参数估计结果显示变量FE(t=14.33，P<0.0001)，P(t=17.48，P=0.332)，最终模型的回归方程为HAEM=41.86643+17.182758*FE。
图11-8 最终回归模型的异常点诊断结果
图11-8是对模型的异常点进行诊断，对于结果中的异常个案进行删除后进行分析，本案例经两次诊断共删除8个个案后进行分析，已无异常值。注意在异常值分析时，删除1-2次后，总是有异常值存在，不建议无限地删除下去，否则数据失真，即使模型很好也无法应用。
图11-9 最终回归模型的拟合诊断结果
图11-10 最终回归模型的残差图
图11-9是模型拟合诊断结果，判断样本是否满足回归分析的假设条件，以及是否包含强影响点。判断样本是否满足回归分析的假设条件，以及是否包含强影响点。不管是从拟合诊断的残差图(第1行第1列)，还是从自变量的残差图(图11-10)，残差随机地分布在整个残差图上；从QQ图中，可以判断残差基本服从正态分布。图11-9中的RSTUDENT图、COOK’S D图可判断强影响点。
图11-11 新模型拟合结果
图11-11是回归模型的拟合图，拟合图显示了预测的精度，阴影部分是因变量HAEM均值的95%可信区间；两条虚线表示自变量的95%预测区间，即表示自变量FE等于某一值时，HAEM的均值有95%的可能性落在此可信区间内。
五、多元线性回归注意事项
(一)注意事项
(1)多元线性回归的前提条件：线性、独立性、正态性和等方差性，其中线性和独立性非常重要，正态性和方差齐性不是很严格。
(2)多元线性回归需要注意自变量之间的共线性，当存在较为严重共线性时，可以采用逐步回归、岭回归，也可以主成分分析和因子分析进行降维后再进行回归分析。
(3)线性回归分析时样本量一般为自变量的15-20倍，样本量过小模型结果不稳定。
(4)线性回归分析的因变量为连续变量，自变量可以是定量变量也可以是定性变量，当定性变量为多分类时需要设置哑变量。
(5)当线性回归模型应用于自变量对因变量的作用大小解释时，更注重于从专业角度去构建模型，允许存在P>0.05的自变量进入模型，可应用输入法选择自变量；当模型应用于预测时，主要从统计学上构建最佳模型，常用逐步回归法选择自变量。
(二)回归分析流程图
图11-12 回归分析流程图
