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【数学知识】函数与复合函数编程实现

• 1、函数定义

• 多项式
• 指数函数与对数函数
• 正弦函数

• 2、复合函数

本博客适合高中学生入门编程知识学习，从高中的数学概念转换到其python实现，提高自身对编程的学习兴趣。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
# 在jupyter notebook显示图片

1、函数定义

我们可以将函数(functions)想象成一台机器f ，每当我们向机器提供输入x，这台机器便会产生输出y。

这台机器所能接受的所有输入x的集合称为定义域(domain)，其所有可能输出y的集合称为值域(range)。函数的定义域和值域有着非常重要的意义，如果我们知道一个函数的定义域，便不会将不合适的输入丢给函数；知道函数的值域，便能判断一个值是否可能是这个函数所输出的。

多项式

# 多项式
# 初中：一元一次函数 y = k*x+b
def f1(x):
    y = 2*x+3  # k=2, b=3
    return y

x = 100
print(f1(100))

203

三次多项式：

$f(x)=x^3-5x^2+9$

# 三次多项式
def f3(x):
    return x**3 - 5*x**2 + 9  # *：乘号 **：求次方

# 画图
x = np.linspace(-100, 100, num = 1000)
y = f3(x)
plt.plot(x,y)

结果如下：

# 5次多项式
def f5(x):
    return 5*x**5+4*x**3+x**3 - 5*x**2 + 9  # *：乘号 **：求次方

y = f5(x)
plt.plot(x,y)

指数函数与对数函数

两个常用的常数：

欧拉常数e
$e = 2.718281828459045$
圆周率pi
$\pi = 3.141592653589793$

# 欧拉常数e
print(np.e)  # e=2.71828
# pi
print(np.pi)  # pi=3.1415926

# 指数函数
def exp(x):
    y = np.e**x  # np.e 就是欧拉常数
    return y  # y>0

y = exp(x)
plt.plot(x,y)

结果如下：

print(exp(0))

1.0

print(exp(-10000))

0.0

$e^x$的本质：
$e^x={x^0}/{0!}+{x^1}/{1!}+{x^2}/{2!}+{x^3}/{3!}+...+{x^n}/{n!}$

对数函数是指数函数的反函数
如果 $y=e^x$
那么 $x=ln(y)$, y>0

x = np.linspace(0.0001,100,1000,endpoint = False)
y1 = np.log2(x)  # 以2为底
y2 = np.log(x)   # 以e为底
y3 = np.log10(x)  # 以10为底
plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'yellow',x,y3,'blue')

正弦函数

正弦函数:
$y = sin(x)$
以及它的变形
$y = Asin({\omega}x+\theta)$

x = np.linspace(-10, 10, num = 1000)
y = np.sin(x)
plt.plot(x,y)

结果如下：

余弦函数:
$y = cos(x)=sin(x+{\pi}/2)$
以及它的变形
$y = Acos({\omega}x+\theta)$

y1 = np.sin(x)   # sin(x)
y2 = np.cos(x)  # cos(x)
plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'blue')

下图中红色为sin(x)，蓝色为cos(x)：

2、复合函数

函数$f(x)$和$g(x)$的复合$fg(x)$:，可以理解为首先将输入$x$给函数$g(x)$获得输出y1后将其进而输入给函数$f(x)$，最终获得结果$y$。例如：

$f(x) = 1/x$

$g(x) = e^{-x}+1$

$fg(x) = f(g(x)) = 1/(1+e^{-x})$
这个复合函数实际上是$sigmoid(x)$
链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数
采用复合函数表示十分复杂的函数，有利于我们进行求导运算！
同时，在编程过程中，采用复合函数，将一个复杂的问题分解为若干个阶段的函数，有利于编程调试，容易发现逻辑错误！

def f(x):
    y = 1/x
    return y

def g(x):
    y = np.exp(-x)+1
    return y

# 这是一个复合函数
def sigmoid(x):
    return f(g(x))

x = 1
print(sigmoid(x))

0.7310585786300049

x = np.linspace(-10, 10, num = 10000)
y = sigmoid(x)
plt.plot(x,y)

另一个常用的复合函数：$softplus(x)$

$f(x) = log(x)$

$g(x) = 1+e^x$

$fg(x) = f(g(x)) = log(1+e^x)$

def f(x):
    y = np.log(x)
    return y

def g(x):
    y = np.exp(x)+1
    return y

# 这是一个复合函数
def softplus(x):
    return f(g(x))

x = 1
print(softplus(x))

1.3132616875182228

x = np.linspace(-10, 10, num = 10000)
y = softplus(x)
plt.plot(x,y)

作者：陈艺荣