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一、实序列的 幅频特性 和 相频特性 对称性质
如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列是 " 实序列 " , 则有 :
X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega}) X(ejω)=X∗(e−jω)
" 实序列 " 的 " 幅频特性 ( 傅里叶变换取绝对值 ) " 是 偶对称 的 ,
" 实序列 " 的 " 相频特性 ( 相角 ) " 是 奇对称 的 ;
上述概念 适用于 连续傅里叶变换 , 离散傅里叶变换 , 序列傅里叶变换 ;
二、性质由来
上面的概念中 , 使用到了 如下定理 : 参考 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | x(n) 分解为实部序列与虚部序列 | 实部傅里叶变换 | 虚部傅里叶变换 | 共轭对称傅里叶变换 | 共轭反对称傅里叶变换 ) 博客 ;
x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 的 共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω);
x R ( n ) x_R(n) xR(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe(ejω) 具备 共轭对称性 ;
x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR(n)⟷SFTXe(ejω)
任意一个 " 实序列 " , 其傅里叶变换 , 一定是共轭对称的 ;
共轭对称性质中 , 实部 偶对称 , 虚部 奇对称 , 模 偶对称 ,
其中 模 就是 幅频特性 ,
相角 奇对称 , 相角 是 相频特性 ;
上述对称性质 , 可以参考 【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 共轭对称与共轭反对称图像示例 | 实序列中共轭对称是偶对称 | 实序列中共轭反对称是奇对称 ) 博客中的图像示例 ;
三、示例说明
下图是 矩形窗函数 的 频谱 ( 幅频特性 / 傅里叶变换取模 ) :
矩形窗 高度是 20 20 20 , 关于 0 0 0 点偶对称 ;
下图是 矩形窗函数 的 相频特性 ( 相角 ) : 关于 0 0 0 原点 奇对称 ;
