【集合论】序关系 ( 链 | 反链 | 链与反链示例 | 链与反链定理 | 链与反链推论 | 良序关系 )

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韩曙亮_ 2022-03-08 17:05:07 博主文章分类：数学 ©著作权

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文章目录

一、链
二、反链
三、链与反链示例
四、链与反链定理
五、链与反链推论
六、链与反链推论示例
七、良序关系

一、链

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

偏序集中一组元素组成集合 B B B , 如果 B B B 集合中的元素两两都可比 , 则称 B B B 集合是该偏序集 < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 的链 ;

符号化表示 : ∀ x ∀ y ( x ∈ B ∧ y ∈ B → x 与 y 可比 ) \forall x \forall y ( x \in B \land y \in B \to x 与 y 可比 ) ∀x∀y(x∈B∧y∈B→x与y可比)

链的本质是一个集合

∣ B ∣ |B| ∣B∣ 是链的长度

二、反链

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

偏序集中一组元素组成集合 B B B , 如果 B B B 集合中的元素两两都不可比 , 则称 B B B 集合是该偏序集 < A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 的反链 ;

符号化表示 : ∀ x ∀ y ( x ∈ B ∧ y ∈ B ∧ x ≠ y → x 与 y 不可比 ) \forall x \forall y ( x \in B \land y \in B \land x\not= y \to x 与 y 不可比 ) ∀x∀y(x∈B∧y∈B∧x=y→x与y不可比)

反链的本质是一个集合

∣ B ∣ |B| ∣B∣ 是反链的长度

三、链与反链示例

四、链与反链定理

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

A A A 集合中最长链长度是 n n n , 则有以下结论 :

① A A A 集合中存在极大元 ;

A A A 集合的极大元就是最长链中最大的元素 ;

② A A A 集合中存在 n n n 个划分块 , 每个划分块都是反链 ;

将链中的极大元 , 与该极大元不可比的元素放在一个集合中 , 构成一个划分块 ; ( 注意划分块中的元素互相不可比 )

在链上剩余的元素中 , 再次选择一个极大元 , 然后将与该极大元不可比的元素放在一个集合中 , 构成另一个划分块 ;

⋮ \vdots ⋮

下面的示例讲解了如何划分 :

上述偏序集中 , 最长的链长度是 6 6 6 ;

① 将极大元 g , h g,h g,h , 与该极大元不可比的剩余元素 k k k 放在一个集合中 ;

A 1 = { g , h , k } A_1 = \{ g , h , k \} A1={g,h,k}

② 将剩余元素的极大元 f f f , 与该极大元不可比的剩余元素 j j j 放在一个集合中 ;

A 2 = { f , j } A_2 = \{ f,j \} A2={f,j}

③ 将剩余元素的极大元 e e e , 与该极大元不可比的剩余元素 i i i 放在一个集合中 ;

A 3 = { e , i } A_3 = \{ e, i \} A3={e,i}

④ 将剩余元素的极大元 d d d , 剩余的元素都与该极大元科比 ;

A 4 = { d } A_4 = \{ d \} A4={d}

⑤ 将剩余元素的极大元 c c c , 剩余的元素都与该极大元科比 ;

A 5 = { c } A_5 = \{ c\} A5={c}

⑥ 将剩余元素的极大元 a , b a,b a,b , 没有剩余元素了 ;

A 6 = { a , b } A_6 = \{ a,b \} A6={a,b}

整体的划分为 : A = { { g , h , k } , { f , j } , { e , i } , { d } , { c } , { a , b } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \} A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}

每次都将最长链去掉一层 , 最终将最长链去除干净 , 得到 n n n 个划分块 ;

五、链与反链推论

< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A ,

A A A 集合大小为 m n + 1 mn + 1 mn+1 , ∣ A ∣ = m n + 1 |A| = mn + 1 ∣A∣=mn+1 , 则有以下结论 :

A A A 集合中要么存在 m + 1 m+1 m+1 的反链 , 要么存在 n + 1 n + 1 n+1 的链 ;

使用反证法证明 :

如果既没有 m + 1 m+1 m+1 的反连 , 又没有 n + 1 n + 1 n+1 的链 ,

假设有长度为 n n n 的链 , 长度为 m m m 的反连 ,

A A A 集合最多划分 n n n 个划分块 , 每个划分块最多有 m m m 个元素 , 该集合最多有 m n m n mn 个元素 , 与 ∣ A ∣ = m n + 1 |A| = mn + 1 ∣A∣=mn+1 矛盾 ;

六、链与反链推论示例

上述偏序集中 , 最长的链长度是 6 6 6 ;

A = { a , b , c , d , e , f , g , h , k , j , i } A = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i \} A={a,b,c,d,e,f,g,h,k,j,i} 集合中 , 元素个数是 11 11 11 个 ,

A A A 集合中有

长度为 6 6 6 的链 , { a , c , d , e , f , g } \{ a, c,d, e,f, g \} {a,c,d,e,f,g} , { b , c , d , e , f , h } \{ b, c,d, e,f, h \} {b,c,d,e,f,h}
长度为 3 3 3 的反链 , { g , h , k } \{ g,h,k \} {g,h,k} , { a , b , i } \{ a,b,i \} {a,b,i} , { g , h , i } \{ g,h,i \} {g,h,i} , { a , b , k } \{ a,b,k \} {a,b,k}

∣ A ∣ = 11 = 2 × 5 + 1 |A| = 11 = 2 \times 5 + 1 ∣A∣=11=2×5+1

A A A 集合中要么有长度为 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3 2+1=3 的反链 , 要么有长度为 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 5+1=6 的链 ; ( 两个都满足 )
或

A A A 集合中要么有长度为 5 + 1 = 6 5 + 1 = 6 5+1=6 的反链 , 要么有长度为 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3 2+1=3 的链 ; ( 满足长度为 3 3 3 的链 )

A A A 集合上的划分 :

A = { { g , h , k } , { f , j } , { e , i } , { d } , { c } , { a , b } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h , k \} ,\{ f,j \} , \{ e, i \} , \{ d \} , \{ c\} , \{ a,b \} \} A={{g,h,k},{f,j},{e,i},{d},{c},{a,b}}
A = { { g , h } , { f } , { e } , { d } , { c , j } , { a , b , i } } \mathscr{A} = \{ \{ g , h \} ,\{ f \} , \{ e \} , \{ d \} , \{ c, j\} , \{ a,b , i \} \} A={{g,h},{f},{e},{d},{c,j},{a,b,i}}