【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 )

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韩曙亮_ 2022-03-08 17:03:36 博主文章分类：数学 ©著作权

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文章目录

一、闭包求法
二、求闭包示例 ( 关系图角度 )
三、求闭包示例 ( 关系矩阵角度 )
四、闭包运算与关系性质
五、闭包复合运算

一、闭包求法

R R R 关系是 A A A 集合上的二元关系 , R ⊆ A R \subseteq A R⊆A , 且 A A A 集合不为空集 , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A=∅

求自反闭包 : r ( R ) = R ∪ I A r(R) = R \cup I_A r(R)=R∪IA , 给每个顶点添加环 ;

如果 R R R 关系是自反的 , 当且仅当 , I A ⊆ R I_A \subseteq R IA⊆R

求对称闭包 : s ( R ) = R ∪ R − 1 s(R) = R \cup R^{-1} s(R)=R∪R−1

原来没有有向边 ( 有序对 ) , 自然也没有对应的逆 , 此时不添加边
原来有一条有向边 ( 有序对 ) , 再添加一个反向的有向边 , 组成关系图中的顶点间的双向有向边
原来有两条有向边 ( 有序对 ) , 此时就不用添加其它边
如果 R R R 关系是对称的 , 当且仅当 , R = R − 1 R = R^{-1} R=R−1

求传递闭包 : t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ⋯ t(R) = R \cup R^2 \cup R^3 \cup \cdots t(R)=R∪R2∪R3∪⋯

将 R R R 关系所有的幂运算值并起来 , 就是其传递闭包 , R R R 关系的 1 1 1 次幂 , R R R 关系的 2 2 2 次幂 , R R R 关系的 3 3 3 次幂 , ⋯ \cdots ⋯ , R R R 关系的 n n n 次幂 , 并起来 , 就是其传递闭包 ;

如果 A A A 是有穷集 , 其关系也是有穷的 , 求出其所有的 n n n 次幂 , 不用求出很多幂运算 , 因为关系的幂运算后面都是循环的 , 求出已知的所有 n n n 次幂取并集即可 ;

如果 R R R 关系是传递的 , 当且仅当 , R 2 ⊆ R R^2 \subseteq R R2⊆R

二、求闭包示例 ( 关系图角度 )

集合 A = { a , b , c , d } A = \{ a, b, c , d \} A={a,b,c,d}

关系 R = { < a , b > , < b , a > , < b , c > , < c , d > } R = \{ <a,b> , <b,a> , <b,c> , <c,d> \} R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求关系 R R R 的自反闭包 r ( R ) r(R) r(R) , 对称闭包 s ( R ) s(R) s(R) , 传递闭包 t ( R ) t(R) t(R)

【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 )_二元关系

求自反闭包 : 就是给每个顶点加上环 :

【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 )_传递性_02

求对称闭包 : 将顶点间单向边改成双向边 , 不管顶点间双向边和顶点间没有边的情况 ;

【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 )_传递性_03

求传递闭包 : 将能到的点直接连起来 ;

a 可以到 b , 路径 a -> b ; a 可以到 c , 路径是 a -> b -> c ; a 可以到 d , 路径是 a -> b -> c -> d ; 因此添加 a 到 c , d 的有向边 ;
b 可以到 a , 路径 b -> a ; b 可以到 c , 路径是 b -> c ; b 可以到 d , 路径是 b -> c -> d ; 因此添加 b 到 d 的有向边 ;
c 可以到 d , 路径 c -> d ; 没有可连接的边 ;
d 哪都到不了 , 没有可连接的边 ;
另外出现双向边时 , 两个顶点必须加环 ;

【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 )_二元关系_04

三、求闭包示例 ( 关系矩阵角度 )

关系 R = { < a , b > , < b , a > , < b , c > , < c , d > } R = \{ <a, b> , <b,a> , <b,c> , <c,d> \} R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

使用关系矩阵方法求其自反闭包 , 对称闭包 , 传递闭包 ;

将上述关系写成矩阵形式为 :

M ( R ) = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] M(R) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

自反闭包 : 将主对角线值 , 全部改成 1 1 1 , 左上角到右下角为主对角线 ;

M ( r ( R ) ) = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 ] M(r(R)) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} M(r(R))=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1100110001100011⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

对称闭包 : 主对角线两端要对称 , 以对角线为基准 , 使对角线两边的值对称 ;

M ( s ( R ) ) = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ] M(s(R)) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} M(s(R))=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100101001010010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

传递闭包 : 求该关系矩阵的二次幂 , 三次幂 , 四次幂 , ⋯ \cdots ⋯ , 直到出现相同的循环的值为止 ;

将上述所有的不同的矩阵幂运算进行逻辑相加 ( 或 ) 操作 , 就是其传递闭包对应的矩阵 , 计算机算法适合使用该方法 , 如果人计算 , 还是关系图比较形象 ;

注意逆序合成

M ( R 2 ) = M ( R ∘ R ) = M ( R ) ∙ M ( R ) = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] ∙ [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M(R^2) = M(R \circ R) = M(R) \bullet M(R) =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R2)=M(R∘R)=M(R)∙M(R)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∙⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000010010000100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

M ( R 3 ) = M ( R 2 ∘ R ) = M ( R ) ∙ M ( R 2 ) = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] ∙ [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] = [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M(R^3) = M(R^2 \circ R) = M(R) \bullet M(R^2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R3)=M(R2∘R)=M(R)∙M(R2)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∙⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000010010000100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001001000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

M ( R 4 ) = M ( R 3 ∘ R ) = M ( R ) ∙ M ( R 3 ) = [ 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] ∙ [ 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] = M ( R 2 ) M(R^4) = M(R^3 \circ R) = M(R) \bullet M(R^3) =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = M(R^2) M(R4)=M(R3∘R)=M(R)∙M(R3)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001000010⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤∙⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡0100100001001000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1000010010000100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=M(R2)

因此其 R 4 R^4 R4 之后的幂运算值 , 偶数次幂关系矩阵与 M ( R 2 ) M(R^2) M(R2) 值相同 , 奇数次幂关系矩阵与 M ( R 3 ) M(R^3) M(R3) 值相同 ;

M ( t ( R ) ) = M ( R ) ∨ M ( R 2 ) ∨ M ( R 3 ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] M(t(R)) = M(R) \lor M(R^2) \lor M(R^3) =\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(t(R))=M(R)∨M(R2)∨M(R3)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1100110011001100⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

四、闭包运算与关系性质

	自反性	对称性	传递性
r ( R ) r(R) r(R)	1 1 1 ( 本身性质 )	1 1 1	1 1 1
r ( R ) r(R) r(R)	1 1 1	1 1 1 ( 本身性质 )
r ( R ) r(R) r(R)	1 1 1	1 1 1	1 1 1 ( 本身性质 )

上述表格中值为 1 1 1 , 说明原来存在该性质 , 求对应的自反/对称/传递闭包后 , 仍具有该性质 , 反之不具有该性质 ;

表格第二行含义 : r ( R ) r(R) r(R) 对应的行 ;

自反性 : 假如 R R R 原来是自反的 , 那么 r ( R ) r(R) r(R) 也是自反的 ;
对称性 : 假如 R R R 原来是对称的 , 那么 r ( R ) r(R) r(R) 也是对称的 ; 求自反闭包 , 只是给顶点加环 , 不影响对称性 ;
传递性 : 假如 R R R 原来是传递的 , 那么 r ( R ) r(R) r(R) 也是传递的 ; 求自反闭包 , 只是给顶点加环 , 不影响传递性 ;