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排列组合参考博客 :
- 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
- 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
- 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
- 【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
- 【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )
- 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
一、多重集组合示例
将 r r r 个相同的球 , 放到 k k k 个不同的盒子中 , 每个盒子中球的个数不限 , 求放球的总方法数 ?
球是没有区别的 , 球放到盒子里 , 球没有标号 , 盒子有标号 , 每个盒子放球的个数不同 ;
落入每个盒子中球个数不同 , 就是不同的方案 ;
假设 n n n 个盒子 , 每个盒子的球数为 x 1 , x 2 , ⋯ , x k x_1 , x_2 , \cdots , x_k x1,x2,⋯,xk ;
存在不定方程 : x 1 + x 2 + ⋯ + x k = r x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r x1+x2+⋯+xk=r
取值 : x 1 , x 2 , ⋯ , x k x_1 , x_2 , \cdots , x_k x1,x2,⋯,xk 的取值为非负整数 , 可以取值 0 ∼ r 0 \sim r 0∼r 之间的值 ;
该问题可以等价于多重集 S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯ , n k ⋅ a k } , 0 ≤ r ≤ n i ≤ + ∞ S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq r \leq n_i \leq +\infty S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}, 0≤r≤ni≤+∞ 的 r r r 组合数 ;
N = C ( k + r − 1 , r ) N= C(k + r - 1, r) N=C(k+r−1,r)
参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
上述 r r r 个相同的球 , 放在 k k k 个不同盒子中 , 放球方法数是
N = C ( k + r − 1 , r ) N = C(k + r - 1, r) N=C(k+r−1,r)
二、三个计数模型
三个计数模型 :
- ① 选取问题 :
- ② 多重集组合问题 :
- ③ 方程非负整数解 :
1. 选取问题 :
n n n 元集 S S S , 从 S S S 集合中选取 r r r 个元素 ;
根据 元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :
元素不重复 | 元素可以重复 | |
有序选取 | 集合排列 P ( n , r ) P(n,r) P(n,r) | 多重集排列 |
无序选取 | 集合组合 C ( n , r ) C(n,r) C(n,r) | 多重集组合 |
选取问题中 :
- 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
- 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
- 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
-
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合
2. 多重集组合问题 :
S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯ , n k ⋅ a k } , 0 ≤ n i ≤ + ∞ S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\infty S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}, 0≤ni≤+∞
- 元素种类 : 多重集中含有 k k k 种不同的元素 ,
- 元素表示 : 每个元素表示为 a 1 , a 2 , ⋯ , a k a_1 , a_2 , \cdots , a_k a1,a2,⋯,ak ,
- 元素个数 : 每个元素出现的次数是 n 1 , n 2 , ⋯ , n k n_1, n_2, \cdots , n_k n1,n2,⋯,nk ,
- 元素个数取值 :
n
i
n_i
ni 的取值要求是 大于
0
0
0 , 小于正无穷
+
∞
+ \infty
+∞ ;
上述多重集的组合 , 当 所有元素的重复度 n i n_i ni 组大于组合数 r r r 时 , r ≤ n i r \leq n_i r≤ni 时 , 多重集的组合数为
N = C ( k + r − 1 , r ) N= C(k + r - 1, r) N=C(k+r−1,r)
3. 不定方程非负整数解问题 : x 1 + x 2 + ⋯ + x k = r x_1 + x_2 + \cdots + x_k = r x1+x2+⋯+xk=r
非负整数解个数为 : N = C ( k + r − 1 , r ) N= C(k + r - 1, r) N=C(k+r−1,r)
