一、计算理论内容概览
计算理论分为 形式语言与自动机 , 可计算部分 , 计算复杂性部分 ;
形式语言与自动机 内容 : 自动机 , 确定性有限自动机 , 非确定性有限自动机 , 正则语言 , 泵引理 , 上下文无关语法 , 下推自动机 , 都属于 形式语言 与 自动机 部分 ;
可计算 内容 : 图灵机 , 确定性图灵机 , 非确定性图灵机 , 丘奇-图灵命题 , 可判定性 , 可计算性 等问题 ;
计算复杂性 内容 : 时间复杂性 , 模型间的时间复杂性关系 , P \rm P P 类 , N P \rm NP NP 类 ;
二、计算问题的 有效性
可计算性 包含 可判定性 , 可判定性 包含 有效性 ;
可计算性 > 可判定性 > 有效性 ;
计算问题 对应的算法中 , 有些算法是 有效的 , 有些算法是 无效的 ,
如 : 穷举算法 , 蛮力搜索之类的算法 , 没有有效性可言 , 肯定不是有效算法 ; 贪心算法 , 欧几里得算法 是有效算法 ;
这里希望可以区分 有效算法 与 无效算法 ;
在上一篇博客 【计算理论】计算复杂性 ( 多项式等价 | P 类 | 丘奇-图灵论题延伸 ) 中给出了有效算法的严格的数学定义 ;
有效算法 : 就是在 多项式时间 内 , 可以执行完毕 , 得到一个确定的结果的算法 ;
三、语言 与 算法模型
语言 与 算法模型 :
① 正则语言 ( 自动机 ) : L r = L ( a ∗ b ∗ ) \rm L_r = L(a^*b^*) Lr=L(a∗b∗) , 该语言是正则表达式语言 ; r \rm r r 下标含义是 regular 正则 ;
正则语言参考 : 【计算理论】正则语言 ( 正则表达式原子定义 | 正则表达式递归定义 | 正则表达式语言原子定义 | 正则表达式语言结构归纳 | 正则表达式语言示例 | 根据正则表达式构造自动机 )
② 上下文无关语言 ( 下推自动机 ) : L C F L = { a n b n : n ≥ 0 } \rm L_{CFL} = \{ a^nb^n : n \geq 0 \} LCFL={anbn:n≥0} , 该语言不是正则表达式语言 , 是上下文无关语言 ; 下标 C F L \rm CFL CFL 含义是 Context-Free Grammer , 上下文无关语法 ;
上下文无关语法参考 : 【计算理论】上下文无关语法 ( 语法组成 | 规则 | 语法 | 语法示例 | 约定的简写形式 | 语法分析树 )
③ 可判定语言 ( 判定机 ) : L d = { a n b n c n : n ≥ 0 } \rm L_{d} = \{ a^nb^nc^n : n \geq 0 \} Ld={anbncn:n≥0} , 该语言不是上下文无关语言 , 是可判定语言 ; 下标 d \rm d d 含义是 Decidability 可判定 ;
可判定语言参考 : 【计算理论】可判定性 ( 丘奇-图灵论题 | 可判定性引入 | 图灵机语言 | 图灵机结果 | 判定机 | 部分函数与全部函数 | 可判定性定义 )
④ 可计算语言 ( 图灵机 ) : L T r = A T M \rm L_{Tr} = A_{TM} LTr=ATM , 该语言是可计算的 , 不是图灵可判定的 ; 下标 T r \rm Tr Tr 含义是 Turing-recognizable ( 图灵机可识别 ) 即可计算的 ;
⑤ 不可计算语言 ( 没有对应算法模型 ) : L n T r = A ‾ T M \rm L_{nTr} = \overline{A}_{TM} LnTr=ATM , 图灵机不识别语言 , 不可计算语言 ;
参考博客 : 【计算理论】可判定性 ( 通用图灵机和停机问题 | 可判定性 与 可计算性 | 语言 与 算法模型 )
四、可计算性 与 可判定性
可判定性 与 可计算性
① 可判定性 ( Decidability ) : 计算模型是 图灵机中的 判定机 ;
② 可计算性 ( Turing-recognizable 图灵机可接受的 ) : 计算模型是 图灵机 ;
可计算性 包含 可判定性 ;
可计算性 与 可判定性 之间的相互关系 :
补集可计算 : 如果一个语言的 补集 ( Complement ) 是可计算的 ( Turing-recognizable ) , 那么称该语言是 补集可计算的 ( co-Turing-recognizable ) ;
判定 = 可计算 + 补集可计算 : 如果一个语言是 可判定的 ( Decidable ) , 那么这个语言是 可计算的 ( Turing-recognizable ) , 同时这个语言又是 补集是可计算的 ( co-Turing-recognizable ) ;
可计算 : Turing-recognizable
补集可计算 : co-Turing-recognizable
之前提到过 通用图灵机语言 A T M \rm A_{TM} ATM 是 可计算的 , 对应的计算模型是 图灵机 , 但 A T M \rm A_{TM} ATM 是 不可判定的 ;
可判定 = 可计算 + 补集可计算
通用图灵机语言 A T M \rm A_{TM} ATM 是 不可判定的 , 可计算的 , 其补集肯定是不可计算的 ;
参考博客 : 【计算理论】可判定性 ( 通用图灵机和停机问题 | 可判定性 与 可计算性 | 语言 与 算法模型 )
五、可判定性 与 有效性
可判定性 与 有效性 :
① 可判定性 ( Decidability ) : 计算模型是 图灵机中的 判定机 ;
② 有效性 : 在 多项式时间 内 , 可以执行完毕 , 得到一个确定的结果的算法 ;
六、语言分类
语言分类 :
① 可计算语言 : 下推自动机等价问题算法 E Q P D A \rm EQ_{PDA} EQPDA , 通用图灵机语言 A T M \rm A_{TM} ATM ;
② 可判定语言 : 无效算法语言 , 有效算法语言 ;
③ 无效算法语言 : 蛮力穷举算法 ;
④ 有效算法语言 : 正则表达式 , 上下文无关语言 , 动态规划算法 , 贪心算法 ;
下图中 , 分为 可计算 , 可判定 , 无效算法 , 有效算法 ;
① 可计算 : 蓝色部分之外的是 可计算语言 , 对应的计算模型是 图灵机 ;
② 可判定 : 蓝色圆框 之内的是 可判定语言 , 对应的计算模型是 判定机 ;
③ 无效算法 : 蓝色圆框 与 红色圆框 之间的是 无效算法 , 蛮力穷举算法 ;
④ 有效算法 : 红框内的算法是 有效算法 , 可以在 多项式时间 内得到一个结果 ;
