一、整数规划求解方法

分支定界法 ( 普通整数规划 ) : 主要处理整数规划问题 , 规划中的变量要求是整数 ;

匈牙利法 ( 指派问题 ) : 变量只能取 0 , 1 0 , 1 0,1 值的整数规划 , 如果有 n n n 个变量 , 则一共可能有 2 n 2^n 2n 种可能的取值 , 使用穷举法可能比较简单 ; 在进一步 , 将一些条件考虑进其中 , 可以排除掉一些取值 , 使得搜索范围变小 ;





二、指派问题

指派问题 : 给 4 4 4 个人指派 4 4 4 个岗位 , 每个人在不同的岗位产生的利润不同 , 如何安排使得利润最高 ;

A A A B B B C C C D D D
甲 85 85 85 92 92 92 73 73 73 90 90 90
乙 95 95 95 87 87 87 78 78 78 95 95 95
丙 82 82 82 83 83 83 79 79 79 90 90 90
丁 86 86 86 90 90 90 80 80 80 88 88 88


首先进行 变量选取 , 这里人与工作的关系只是 做 / 不做 工作 , 这里将 甲 是否做 A , B , C , D A , B, C, D A,B,C,D 工作设置为变量分别设置为 x 11 , x 12 , x 13 , x 14 x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14} x11​,x12​,x13​,x14​ ,

甲 如果做 A A A 工作 , x 11 = 1 x_{11} = 1 x11​=1 , 如果不做 A A A 工作 , x 11 = 0 x_{11} = 0 x11​=0 ;


16 16 16 个变量如下 :

A A A B B B C C C D D D
甲 x 11 x_{11} x11​ x 12 x_{12} x12​ x 13 x_{13} x13​ x 14 x_{14} x14​
乙 x 21 x_{21} x21​ x 22 x_{22} x22​ x 23 x_{23} x23​ x 24 x_{24} x24​
丙 x 31 x_{31} x31​ x 32 x_{32} x32​ x 33 x_{33} x33​ x 34 x_{34} x34​
丁 x 41 x_{41} x41​ x 42 x_{42} x42​ x 43 x_{43} x43​ x 44 x_{44} x44​

目标函数就是总的利润值 , 将两个表格中的元素按位相乘再相加即可 ;

约束条件 ① 每个人只能做一项工作 , 甲的对应 4 4 4 个变量相加之和等于 1 1 1 ; 同理 乙丙丁 对应的 4 4 4 个变量相加之和也等于 1 1 1 ;

约束条件 ② 每个工作只能指派一个人 , A A A 的对应 4 4 4 个变量相加之和等于 1 1 1 ; 同理 B C D BCD BCD 对应的 4 4 4 个变量相加之和也等于 1 1 1 ;


上述指派问题数学模型 :

m a x Z = 85 x 11 + 92 x 12 + 73 x 13 + 90 x 14 +                 95 x 21 + 87 x 22 + 78 x 23 + 95 x 24 +                 82 x 31 + 83 x 32 + 79 x 33 + 90 x 34 +                 86 x 41 + 90 x 42 + 80 x 43 + 88 x 44 s . t { x 11 + x 12 + x 13 + x 14 = 1 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 = 1 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 = 1 x 41 + x 42 + x 43 + x 44 = 1 x 11 + x 21 + x 31 + x 41 = 1 x 12 + x 22 + x 32 + x 42 = 1 x 13 + x 23 + x 33 + x 43 = 1 x 14 + x 24 + x 34 + x 44 = 1 x i j = 0 , 1      ( i , j = 1 , 2 , 3 , 4 ) \begin{array}{lcl} \rm maxZ = 85x_{11} + 92x_{12} + 73x_{13} + 90x_{14} + \\ \rm \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 95x_{21} + 87x_{22} + 78x_{23} + 95x_{24} + \\ \rm \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 82x_{31} + 83x_{32} + 79x_{33} + 90x_{34} + \\ \rm \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 86x_{41} + 90x_{42} + 80x_{43} + 88x_{44} \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} = 1 \\ \rm x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} = 1 \\ \rm x_{31} + x_{32} + x_{33} + x_{34} = 1 \\ \rm x_{41} + x_{42} + x_{43} + x_{44} = 1 \\\\ \rm x_{11} + x_{21} + x_{31} + x_{41} = 1 \\ \rm x_{12} + x_{22} + x_{32} + x_{42} = 1 \\ \rm x_{13} + x_{23} + x_{33} + x_{43} = 1 \\ \rm x_{14} + x_{24} + x_{34} + x_{44} = 1 \\\\ \rm x_{ij} = 0 , 1 \ \ \ \ (i , j= 1,2,3,4 ) \end{cases}\end{array} maxZ=85x11​+92x12​+73x13​+90x14​+               95x21​+87x22​+78x23​+95x24​+               82x31​+83x32​+79x33​+90x34​+               86x41​+90x42​+80x43​+88x44​s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x11​+x12​+x13​+x14​=1x21​+x22​+x23​+x24​=1x31​+x32​+x33​+x34​=1x41​+x42​+x43​+x44​=1x11​+x21​+x31​+x41​=1x12​+x22​+x32​+x42​=1x13​+x23​+x33​+x43​=1x14​+x24​+x34​+x44​=1xij​=0,1    (i,j=1,2,3,4)​​



指派问题与运输问题的 约束方程的 系数矩阵 都是稀疏矩阵 , 元素取值只能取值 0 , 1 0, 1 0,1 ;

可以使用表上作业法解上述问题 , 但是该问题比运输问题更特殊 , 有更简单的方法求解 , 匈牙利法 ;