浅谈扩展gcd(exgcd)+例题P1082

今天考完马原，下午在家睡了一下午，晚上啥也学不进，就复习一下exgcd的知识，以模板题为例。

​​同余方程​​

题目描述
求关于 $x$ 的同余方程 $ax≡1$

输入格式
一行，包含两个正整数 a,b用一个空格隔开。

输出格式
一个正整数 $x$，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

分析
1: $ax≡1$ (mod b) $=ax+by=gcd(a,b)$

2: 为什么等于 $1 =gcd(a,b)$呢？

• 由于题目给出一定有解，则$1$%$gcd(a,b)=0$，则a,b互质。

3: 已知$ax+by=gcd(a,b)$，那么不就是让我们求exgcd吗？

4:证明: $exgcd(a,b,x,y)$

• (1)由于$gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b)$通过辗转相除法可得到最小公因数，则$ax1+by1=ax2+(a$%$b)*y2$
• (2)$ax1+by1=ax2+(a$%$b)*y2=ax2+(a-(a/b)*b)*y2$
• (3)由$exgcd(a,b,x1,y1)---> exgcd(b,a$%$b,x2,y2)$
  可得公式：$ax1+by1=bx2+ay2-(a/b)*b*y2$
  易得：$x1=y2$

• (4)回转(2)带入化简得：$y1=x2-(a/b)*y2$，由于$x2,y2$已知则可得$x1,y1$

由以上推导，exgcd通过回溯法，由子问题，可递归得到最终解

参考代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 1 << 30;
const int maxn = 2e5 + 5;
const int N = 1e3 + 5;
const int base = 131;
//vector<vector<int>> vec;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    ll t = x;
    x = y, y = t - a / b * y;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    ll a, b, x, y;
    cin >> a >> b;
    exgcd(a, b, x, y);
    while (x <= 0)
        x += b;
    cout<<x<<endl;
}