1. 什么是极大似然估计
在日常生活中，我们很容易无意中就使用到极大似然估计的思想，只是我们并不知道极大似然估计在数学中的如何确定以及推导的。下面我们使用两个例子让大家大概了解一下什么是极大似然估计：
（1）猎人师傅和徒弟一同去打猎，遇到一只兔子，师傅和徒弟同时放枪，兔子被击中一枪，那么是师傅打中的，还是徒弟打中的？
（2）一个袋子中总共有黑白两种颜色100个球，其中一种颜色90个，随机取出一个球，发现是黑球。那么是黑色球90个？还是白色球90个？
对于第（1）个问题，由于师傅的技术一般比徒弟高，因此我们会猜测兔子是师傅打中的。对于第（2）个问题，对于颜色有90个的球，我们抽中它的概率更大，因此当抽中为黑色球时，我们便会认为90个的是黑色球。
对于以上两个例子可以看出，我们在进行猜测时，往往认为：概率最大的事件，最可能发生，因此在一次试验中就出现的事件应当具有较大的概率。
2. 极大似然原理及数学表示
极大似然原理是指：若一次试验有 n
个可能结果 A1,A2,...,An ，现在我们做一次试验，试验的结果为 Ai ，那么我们就可以认为事件 Ai 在这个 n 个可能结果中出现的概率最大。
极大似然估计是指：在一次抽样中，样本出现的概率是关于参数 θ 的函数，若在一些试验中，得到观测值 x1,x2,...,xn ，则我们可以选取 θ^(x1,x2,..,xn) 作为 θ 的估计值，使得当 θ=θ^(x1,x2,..,xn) 时，样本出现的概率最大。而极大似然估计就是要求解出参数 θ
的估计值。可采用极大似然估计法。
3. 极大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation,MLE)
（1）若总体 X
为离散型
假设分布律为 P{X=x}=p(x;θ) ，θ 为待估计参数，p(x;θ) 表示估计参数为 θ 时，发生 x 的概率。
那么当样本值为： x1,x2,...,xn 时，
L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1np(xi;θ)
其中 L(θ) 称为样本的似然函数。
若满足：
L(x1,x2,...,xn;θ^)=maxθL(x1,x2,...,xn;θ)
也就是说，当参数 θ=θ^ 时，似然函数可以取最大值，那么 θ^ 就叫做参数 θ 的极大似然估计值。
（2）若总体 X 为连续型
假设概率密度为 f(x;θ) ，θ 为待估计参数。
那么当样本值为： x1,x2,...,xn 时，
L(θ)=L(x1,x2,...,xn;θ)=∏i=1nf(xi;θ)
其中 L(θ) 称为样本的似然函数。
若满足：
L(x1,x2,...,xn;θ^)=maxθL(x1,x2,...,xn;θ)
也就是说，当参数 θ=θ^ 时，似然函数可以取最大值，那么 θ^ 就叫做参数 θ
的极大似然估计值。
4. 极大似然估计法求估计值的步骤：
（1）构造似然函数 L(θ)
：
L(θ)=∏ni=1p(xi;θ)(离散型);L(θ)=∏ni=1f(xi;θ)(连续型)
（2）取对数： logL(θ) (以 e 为底)；
（3）令 δlogL(θ)δθ=0 ；
（4）解似然方程得到 θ 的极大似然估计值 θ^
。
5. 极大似然估计法应用
（1）假设一个袋子装有白球与红球，比例未知，现在抽取10次（每次抽完都放回，保证事件独立性），假设抽到了7次白球和3次红球，在此数据样本条件下，可以采用最大似然估计法求解袋子中白球的比例。
求解过程：
该试验属于二项分布，我们定义 M
为模型，抽到白球的概率为 θ ，而抽到红球的概率为 1−θ ，因此10次抽取抽到白球7次红球3次的概率(似然函数)为：
L(θ)=(107)P(x1,x2,...,x10|M)=(107)P(x1|M)×P(x2|M)×...×P(x10|M)=(107)θ7(1−θ)3
其对数似然函数为:
logL(θ)=log[(107)θ7(1−θ)3]
求
δlogL(θ)δθ=0
即
7θ6(1−θ)3−3θ7(1−θ)2=0⟹θ=0.7
，
二项式系数为常数，在求导过程中会被抵消。
故白球的比例为 0.7 。
（2）设总体 X N(μ,σ2) ，μ,σ2 为未知参数，x1,x2,...,xn 是来自 X 的一个样本值，求 μ,σ2 的极大似然估计值。
求解过程：
X的概率密度为：
f(x;μ,σ2)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
似然函数为：
L(μ,σ2)=∏i=1n12π−−√σe−(xi−μ)22σ2
取对数为：
logL(μ,σ2)=−n2log(2π)−n2logσ2−12σ2∑i=1n(xi−μ)2
令
{δδμlogL(μ,σ2)=0δδσ2logL(μ,σ2)=0
即
{1σ2[∑ni=1xi−nμ]=0−n2σ2+12(σ2)2∑ni=1(xi−μ)2=0
求得参数估计值为：
{μ^=1n∑ni=1xi=x¯¯¯σ^2=1n∑ni=1(xi−x¯¯¯)2
