改进鲸鱼优化算法Python代码 鲸群优化算法

鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）

• 一、算法灵感
• 二、算法介绍

• 2.1 初始化
• 2.2 包围猎物阶段
• 2.3 气泡网捕食法

• 2.3.1 收缩包围
• 2.3.2 螺旋更新

• 2.4 搜索猎物
• 2.5 WOA的伪代码

• 三、实验结果

• 3.1 F1收敛曲线
• 3.2 F5收敛曲线
• 3.3 F8收敛曲线

• 四、参考文献

一、算法灵感

  鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)是2016年提出的一种元启发式优化算法，其灵感来自于座头鲸的狩猎行为。通过模拟随机或最佳个体捕食猎物的狩猎行为，研究者发现鲸鱼的气泡网捕食法可以分为两种，并将它们命名为“向上螺旋策略”和“双螺旋策略”。“向上螺旋策略”中，座头鲸会先下潜约12米，然后开始在螺旋中制造泡泡，并向水面游去。“双螺旋策略”包括三个不同的环节：珊瑚环节、鲸尾拍打水面环节和捕获环节。在WOA算法中只模拟了“向上螺旋策略”，并使用螺旋模拟座头鲸的气泡网捕食法，如图1所示。

图1 鲸鱼的气泡网捕食示意图

二、算法介绍

2.1 初始化

  在WOA中，初始化鲸鱼种群位置的计算公式如下：
${X_i} = lb + rand \times (ub - lb) \tag{1}$式中，${X_i}$ 为个体 ${i}$ 的位置，${lb}$ 和 ${ub}$ 是搜索空间的下界和上界，${rand}$ 为 $0$ 到 $1$

2.2 包围猎物阶段

  在现实中座头鲸能够识别猎物的位置并将其围成一圈。但由于在搜索空间中的最优位置是未知的，因此，WOA算法假设当前最佳候选解位置为目标猎物位置。在定义了目标猎物位置后，其他鲸鱼将进行尝试包围到目标猎物的位置。该过程的计算公式如下：

$X\left( {t + 1} \right) = {X^*}\left( t \right) - A \times D \tag{2}$$A = 2 \times a \times rand - a \tag{3}$$D = \left| {C \times {X^*}\left( t \right) - X\left( t \right)} \right| \tag{4}$$C = 2 \times rand \tag{5}$其中，$t$ 为当前迭代次数，$A$ 和 $C$ 为系数，$X$ 是当前解的位置，$X^*$ 是当前最优解的位置，$a$ 在迭代过程中逐渐从 $2$ 减小至 $0$。

  图2(a)展示了式(2)在应对二维问题时，通过调整A和C可以到达当前最优解周围的不同位置。图2(b)展示了式(2)在应对三维问题时，通过随机变量 $rand$，可以达到当前最优解周围的不同位置。从而模拟了鲸鱼包围猎物。

图2 鲸鱼下一个可能的位置

2.3 气泡网捕食法

2.3.1 收缩包围

$a$ 的值来实现收缩包围，由于 $A$ 的范围为 $[-a,a]$。因此，当a减小时，$A$ 的波动范围也会缩小。图3(a)展示了在二维空间中 $0\le A \le1$ 时从 $(X, Y)$ 到 $(X^*, Y^*)$

2.3.2 螺旋更新

图3 鲸鱼的气泡网捕食示意图

$(X, Y)$ 到 $(X^*, Y^*)$ 之间的距离，然后使用螺旋更新公式(6)来模拟鲸鱼的螺旋前进。
$X\left( {t + 1} \right) = {D^*} \times {e^{bl}} \times \cos \left( {2\pi l} \right) + {X^*}\left( t \right) \tag{6}$${D^*} = \left| {{X^*}\left( t \right) - X\left( t \right)} \right| \tag{7}$其中，$D^*$ 表示第 $i$ 个个体与最优个体之间的距离，$b$ 为常数，用于定义对数螺线的形状，$l$ 为 $[-1, 1]$ 之间的随机数。
  为了同时模拟鲸鱼的收缩包围机制和螺旋更新机制，假设这两种机制执行的概率相等，可以用数学表达式表示如下：
$X\left( {t + 1} \right) = \left\{ \begin{aligned} &{X^*}\left( t \right) - A \times D \qquad\qquad\quad\quad\ \ \ ,if\ rand<0.5 \cr &{D^*} \times {e^{bl}} \times \cos \left( {2\pi l} \right) + {X^*}\left( t \right) \quad,other \cr \end{aligned}\right. \tag{8}$

2.4 搜索猎物

图4 鲸鱼下一个可能的位置

$A$ 的值来实现。当 $A$ 的绝对值大于 $1$ 时，鲸鱼将会远离目标猎物，如图4所示。与气泡网捕食阶段相反，这里将随机选择一个个体的位置作为参考来更新下一个位置，而不是目前为止最优的个体位置。该阶段相当于探索阶段。数学公式如下：
$X\left( {t + 1} \right) = {X_{rand}} - A \times D \tag{9}$$D = \left| {C \times {X_{rand}} - X} \right| \tag{10}$其中，$X_{rand}$为随机一条鲸鱼的位置。

2.5 WOA的伪代码

1. 初始化鲸鱼数量 $N$ 和最大迭代次数 $T$
2. 初始化种群：$X_i(i=1,2,...,N)$
3. While $t<T$ do
4.   检查是否有鲸鱼超出了搜索空间并进行修改
5. $X^*$
6.   For $i=1$ to $N$ do
7. $a$，$A$，$C$，$l$
8.     If $rand<0.5$ then
9.       If $|A|<1$ then
10.         使用公式(2)执行收缩包围策略
11.       Else
12.         使用公式(9)执行搜索猎物策略
13.       End If
14.     Else
15.       使用公式(6)执行螺旋更新策略
16.     End If
17.   End For
18. $t=t+1$
19. End While
20. 返回吃的最饱的鲸鱼(最优解) $X^*$

三、实验结果

WOA在23个经典测试函数(设置维度 $dim=30$)的F1、F5、F8中的收敛曲线，测试函数公式如下：

函数	公式	理论值
F1	${F_1}(x) = \sum\nolimits_{i = 1}^n {x_i^2}$	$0.00$
F5	${F_5}(x) = \sum\nolimits_{i = 1}^{n - 1} {[100{{({x_{i + 1}} - x_i^2)}^2} + {{({x_i} - 1)}^2}]}$	$0.00$
F8	${F_8}(x) = \sum\nolimits_{i = 1}^n { - {x_i}\sin (\sqrt {|{x_i}|} )}$	$-418.9829×dim$

3.1 F1收敛曲线

3.2 F5收敛曲线

3.3 F8收敛曲线