1.最长递增子序列
求一段字符串的最长递增子序列
问题分析:
设序列为:A="a0,a1,a2,a3,a4,a5,...,ai",定义D(i)为选i作为序列一项后,后面序列中第i项更大项数有多少,包括i.从最后一项算起D(i)=1,依次往前计算;如果ak<=ak+1,则D(k)=D(k+1)+1 ; 如果ak>ak+1 ,则往后遍历，直到寻找到m，ak<=am,然后D(k)=D(m)+1,如果遍历到最后一项都没有大于ak的数，则ak保持原值1。
举例
A={1，5，2，6，3，4}
算出：D=(4,2,3,1,2,1)
则最长子序列长度为4。
自己实现代码如下：
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_LENGTH 100
void LAS(int x[],int xlen,int D[])
{
for(int k=0;k<xlen;k++)
D[k]=1;
for(int i=xlen-1;i>=0;i--)
for(int j=i+1;j<xlen;j++)
{
if(x[i]<=x[j]&&D[i]<D[j]+1)
D[i]=D[j]+1;
}
return ;
}
void PrintLAS(int x[],int xlen,int D[])
{
int mark=D[0];
for(int i=0;i<xlen;i++)
{
if(mark==D[i])
{
cout<<x[i];
--mark;
}
}
}
int main()
{
int a[6]={1,5,2,6,3,4};
int D[6];
LAS(a,6,D);
PrintLAS(a,6,D);
return 1;
}
2.最长公共子序列
求两字符序列的最长公共字符子序列
问题分析:
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
总结为公式:
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度。我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
自己实现代码如下,可输出所有最长公共子序列:
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAX_LENGTH 100
vector<char> v;
void LCSLength(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH])
{
int xlen=strlen(x);
int ylen=strlen(y);
for(int i=0;i<=xlen;i++)
A[i][0]=0;
for(int j=0;j<=ylen;j++)
A[0][j]=0;
for(i=1;i<=xlen;i++)
for(j=1;j<=ylen;j++)
{
if(x[i-1]==y[j-1])
A[i][j]=A[i-1][j-1]+1;
else
{
if(A[i-1][j]>A[i][j-1])
A[i][j]=A[i-1][j];
else
A[i][j]=A[i][j-1];
}
}
return ;
}
void PrintLCS(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH],int i,int j)
{
if(0==i||0==j)
{
vector<char>::iterator it=v.begin();
while(it!=v.end())
{
cout<<*it;
++it;
}
cout<<endl;
return;
}
if(x[i-1]==y[j-1])
{
v.push_back(x[i-1]);
PrintLCS(x,y,A,i-1,j-1);
v.pop_back();
return ;
}
else
{
if(A[i-1][j]==A[i][j-1])
{
PrintLCS(x,y,A,i-1,j);
PrintLCS(x,y,A,i,j-1);
return ;
}
else if(A[i-1][j]>A[i][j-1])
{
PrintLCS(x,y,A,i-1,j);
return ;
}
else
{
PrintLCS(x,y,A,i,j-1);
return ;
}
}
}
int main()
{
char *a="ABCBDAB";
char *b="BDCABA";
int A[MAX_LENGTH][MAX_LENGTH];
LCSLength(a,b,A);
PrintLCS(a,b,A,7,6);
int xlen=strlen(a);
int ylen=strlen(b);
for(int i=0;i<=xlen;i++)
{
cout<<endl;
for(int j=0;j<=ylen;j++)
{
cout<<A[i][j];
}
}
return 1;
}
3.最长公共子串
找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。而最长公共子序列则并不要求连续。
问题分析:
其实这是一个序贯决策问题，可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢？直接举个例子吧："bab"和"caba"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"ba"或"ab")
我们看矩阵的斜对角线最长的那个就能找出最长公共子串。
不过在二维矩阵上找最长的由1组成的斜对角线也是件麻烦费时的事，下面改进：当要在矩阵是填1时让它等于其左上角元素加1。
这样矩阵中的最大元素就是 最长公共子串的长度。(以上引用自)
自己代码实现如下:
#include<iostream>x
using namespace std;
#define MAX_LENGTH 100
void LCSLength(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH])
{
int xlen=strlen(x);
int ylen=strlen(y);
for(int i=0;i<=xlen;i++)
A[i][0]=0;
for(int j=0;j<=ylen;j++)
A[0][j]=0;
for(i=1;i<=xlen;i++)
for(j=1;j<=ylen;j++)
{
if(x[i-1]==y[j-1])
A[i][j]=A[i-1][j-1]+1;
else
A[i][j]=0;
}
return ;
}
void PrintLCS(char *x,char *y,int A[][MAX_LENGTH])
{
int max=0;
int xlen=strlen(x);
int ylen=strlen(y);
for(int i=0;i<=xlen;i++)
for(int j=0;j<=ylen;j++)
if(max<A[i][j])
max=A[i][j];
for(i=0;i<=xlen;i++)
for(int j=0;j<=ylen;j++)
{
if(A[i][j]==max)
{
int m=i,n=j;
while(A[m][n])
{
cout<<x[m-1];
--m;
--n;
}
cout<<endl;
}
}
}
int main()
{
char *a="ABCBDCB";
char *b="BDCABC";
int A[MAX_LENGTH][MAX_LENGTH];
LCSLength(a,b,A);
PrintLCS(a,b,A);
int xlen=strlen(a);
int ylen=strlen(b);
for(int i=0;i<=xlen;i++)
{
cout<<endl;
for(int j=0;j<=ylen;j++)
{
cout<<A[i][j];
}
}
return 1;
}
