比赛链接：Dashboard - Codeforces Round #792 (Div. 1 + Div. 2) - Codeforces
C. Column Swapping
题意：
给定一个n*m大小的二维数组，要求只进行一次两列交换，使得得到的新数组的每行都是不减的。特别的，允许交换的两列是相同列。
思路： 构造
可以考虑复制一份数组，并将其排序，那么两个数组中出现数字大小不同的列就是需要进行交换的列。
设需要交换的列的数量为num：
- 当num=0，无需交换，可以直接选择交换1 1。
- 当num=2时，尝试交换两列，并判断交换后，每行的这两列位置的数字是否已与排序后的该位置的数字相等。
- 当num>2时，那么需要交换的次数是大于1的，故无法满足要求。
参考代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, m;
vector<int> v[N], nv[N];
bool check(int c1, int c2)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
if(v[i][c1] != nv[i][c2] || v[i][c2] != nv[i][c1]) return false;
return true;
}
void solve()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i++) v[i].clear();
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < m; j++) {
int x;
scanf("%d", &x);
v[i].push_back(x);
}
nv[i] = v[i];
sort(nv[i].begin(), nv[i].end());
}
int pos1 = -1, pos2 = -1;
bool ok = true;
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < m; j++) {
if(v[i][j] != nv[i][j]) {
if(pos1 == -1 || pos1 == j) pos1 = j;
else if(pos2 == -1 || pos2 == j) pos2 = j;
else ok = false;
}
}
}
if(!ok) puts("-1");
else {
if(pos1 == -1 && pos2 == -1) puts("1 1");
else if(check(pos1, pos2)) printf("%d %d\n", pos1 + 1, pos2 + 1);
else puts("-1");
}
}
int main()
{
int test;
cin >> test;
while(test--) solve();
return 0;
}D. Traps
题意：
给定一个大小为n的数组a[]为基础花费，以及最大跳过次数k：每次跳过可直接越过一格，但同时，后续走的每一格都增加1的附加花费。当从 i-1 走到 i 且已进行 cnt 次跳过操作时，此次花费为ai + cnt。求从0走到n所需的最小花费。
思路：贪心 构造
取 ai + i 最大的 min(n, k) 个格子跳过，然后模拟一下求总花费即可。
证明：
- 跳过次数应为min(n,k)：
假设当前跳过次数为K，且仍有可跳过的格子且还有跳过次数，那么考虑跳过最后一个未跳过的格子，最终的花费必定只减不增。因此，跳过次数越多，结果越优。 - 取 ai + i 较大的格子跳过：
假设有ax + x > ay + y，若只跳过x和y其中某一格，有两种情况，其中二者出现差异的部分仅在区间 [x，y]内，若假设此前跳过了cnt步，则有：
① 跳过x：cost1 = sum[x + 1，y] + (cnt + 1) * (y - x).
② 跳过y：cost2 = sum[x，y - 1] + cnt * (y - x).
进而，cost1 - cost2 = ay - ax + y - x = ay + y - (ax + x) < 0 ，即跳过x的花费比跳过y更小。
因此，应考虑优先跳过 ai + i 较大的格子。
参考代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, k, a[N], id[N];
PII p[N];
void solve()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &a[i]);
p[i] = { a[i] + i, i };
}
sort(p + 1, p + 1 + n, greater<PII>());
for(int i = 1; i <= n && i <= k; i++) id[i] = p[i].second;
sort(id + 1, id + 1 + min(n, k));
int cnt = 0;
LL res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(cnt < k && i == id[cnt + 1]) ++ cnt;
else res += a[i] + cnt;
}
cout << res << endl;
}
int main()
{
int test;
cin >> test;
while(test--) solve();
return 0;
}E. MEX vs DIFF
题意：
给一个大小为n的非负数组a，以及k次操作，每次操作可以将a中任意一个数变成任意数。
有mex为不包含与a中的最小的非负整数，dif为a中不同数的数量，求dif - mex的最小值。
思路：贪心 构造
可以发现dif必然不小于mex，dif - mex的值实际上等于：大于mex的不同数的个数。所以最终答案应该令mex尽量大，同时，让大于mex的不同数的个数尽量小。
- 令mex尽量大：先求mex的最大值。
- 令大于mex的不同数的个数尽量小：muitiset维护一下，让大于mex的数中，数量较少的数优先进行改变操作。
参考代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, k, a[N];
map<int,int> num, dnum;
void solve()
{
num.clear();
cin >> n >> k;
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), ++ num[a[i]];
dnum = num;
// 求mex最大值
sort(a + 1, a + 1 + n);
int mex = 0;
while(num[mex]) ++ mex;
for(int i = n, j = k; i && j; i--, j--) {
if(a[i] < mex) break;
num[mex] = 1, -- num[a[i]];
while(num[mex]) ++ mex;
}
// 求mex最大时，dif最小值
multiset<int> S;
for(auto i : dnum) {
if(i.first > mex) S.insert(i.second);
}
int dif = mex;
for(auto i : S) {
if(k >= i) k -= i;
else ++ dif;
}
cout << dif - mex << endl;
}
int main()
{
int test;
cin >> test;
while(test--) solve();
return 0;
}
