什么是梯度下降？
梯度下降是一种优化算法，目的是求出目标函数的最优解。
为什么需要梯度下降？
随着我们的机器学习模型越来越复杂，参数越来越多，我们很难求出一个具体的公式直接解出最佳的优化参数，其次，像多元线性回归的正规方程
，算法复杂度太高,既要算矩阵乘法，还要求矩阵的逆，计算量会很大,算法复杂度达到了
，我们需要一个简单的方法能更快的计算出最佳参数。
假设要优化一个函数
我们需要寻找一个最佳的参数
，使得目标函数
，达到最小。
学过初中数学的人都知道，这个函数大于等于0，最小值就是0， 最佳的
应该为0.25。
#定义函数
def f(x):
return 0.5 * (x - 0.25)**2
如何优化？
如果你学习过高等数学，应该知道有个概念叫梯度，梯度的方向就代表着函数增长速度最快的方向，那么很显然，如果要使得目标函数最小，梯度的反方向就是函数减小的速度最快方向，于是就得出了梯度下降的公式。
梯度下降的优化公式
其中
是待求的参数，
是学习率代表每次优化的步长，
是目标函数。
这么说你可能不明白怎么回事，其实吧，梯度下降不是像最小二乘法，正规方程那样，直接运算就能得出结果，梯度下降是一个迭代的过程，它是渐进的，不是一撮而就的。
一开始，目标函数的数值很大，我们要优化目标函数，使其变小，而使目标函数减小就得改变需要优化的参数
。我们求出目标函数在参数
上的梯度，往函数减小的最大方向（梯度的反方向）移动一步，这一步就是学习率
。
就好比我们在一座高山之上，现在要下山，就往下山最快的路径上移动一步。
对之前函数求导：
#f(x)的导数(现在只有一元所以是导数，如果是多元函数就是偏导数)
def df(x):
return x - 0.25 #求导应该不用解释吧
定义学习率
alpha = 0.1 #你可以更改学习率试试其他值
为了将优化过程保存下来，还需要额外定义一些变量：
GD_X
梯度下降过程
既然在不断的优化目标函数，算法总要有个停止的时候，当优化次数大于100 的时候就停止优化（你也可以选择多迭代几次），或者当这一次优化和上一次优化的差距已经非常小，小到接近0时，我们也停止优化（这说明已经优化到最优值了，导数已经接近为0，我们知道，函数的极值出现在一阶导数为0的地方）。
while iter_num <100 and f_change > 1e-10: #迭代次数小于100次或者函数变化小于1e-10次方时停止迭代
iter_num += 1
x = x - alpha * df(x)
tmp = f(x)
f_change = abs(f_current - tmp)
f_current = tmp
GD_X.append(x)
GD_Y.append(f_current)
查看变量
GD_X #可以看出x已经无限逼近0.25了
也可以打印出y的值
print("{:.10f}".format(GD_Y[-1])) #无限接近0
你可以观察到一个现象，最终优化的参数
并不是想象中的0.25，而是无限逼近0.25，这是梯度下降的缺点之一，它没办法求的非常精确，但实际生活中，损失一点点精度并没有什么影响，0和0.00000050在很难表现出显著差异。
可视化学习过程
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X = np.arange(-4,4,0.05)
Y = f(X)
Y = np.array(Y)
plt.plot(X,Y)
plt.scatter(GD_X,GD_Y)
plt.title("$y = 0.5(x - 0.25)^2$")
plt.show()
可以看出，梯度下降算法是一步一步的逼近最小值的。
将学习率改为1.8后再运行
plt.plot(X,Y)
plt.plot(GD_X,GD_Y) #注意为了显示清楚每次变化这里我做了调整
plt.title("$y = 0.5(x - 0.25)^2$")
plt.show()
你还可以试试其他的学习率，还会发现有趣的现象，这里就不说了，建议把我的代码拿来跑一下，一定要自己亲手试试才知道。
（我的代码都能直接运行）
