AcWing 275. 传纸条 (dp 状态优化）

​​AcWing 275. 传纸条​​

题目

给一个 m 行 n 列矩阵，当前位置在（1，1），需要走到（m，n）然后再走回来，走到一个点可以拿走当前的值，但是每个点只能走一次，求最后能得到的最大值。

分析

如果只有一条路线就很简单了。现在要回去，可以看成同时从（1，1）走两条不相交的路线，状态表示可以用 $dp[x1][y1][x2][y2]$

进一步优化状态，可以记录走了 k 步，和两点的 x 坐标。

①： 状态表示（经验）

1. 集合：$dp[k][x1][x2]$ 表示所有两条路线从 (1,1) 分别走到 $(x1, k-x1), (x2, k-x2)$的所有方案（不相交）
2. 属性：表示集合中所有方案路径花费之和的最大值。

②： 状态转移

两条路线分别可以从右、下走到当前位置 $dp[k][x1][x2]$，排列组合一下就是 4 种方式。

推广：如果这个题要走 ​​k 条路径​​的话，就不能用 dp 来做了，状态太多，要用最小费用最大流

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50 + 5;

int n, m, t;
int w[N][N];
int dp[N * 2][N][N];

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    for (int j = 1; j <= m; j++) 
      scanf("%d", &w[i][j]);

  for (int k = 2; k <= n + m; k++) 
    for (int x1 = max(1, k - m); x1 <= min(k - 1, n); x1++) 
      for (int x2 = max(1, k - m); x2 <= min(k - 1, n); x2++) {
        if (x1 == x2) continue;     // 不能走相同的点
        if (x1 != x2) t = w[x1][k - x1] + w[x2][k - x2];
        for (int a = 0; a < 2; a++)    // 四个方向
          for (int b = 0; b < 2; b++)
            dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k - 1][x1 - a][x2 - b] + t);
      }
  // 最后一个点的值 加上 两个方向来的最大值
  printf("%d\n", w[n][m] + max(dp[n + m - 1][n][n - 1], dp[n + m - 1][n - 1][n]));
  return 0;
}

代码其实也可以写成，其中如果两人在相同格子，则 t 等于这个格子的分值；否则等于两个格子的分值之和。主要是为了计算最后一个点，中间走相同点的肯定会被其他值替换，所以没事。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 50 + 5;

int n, m;
int w[N][N];
int dp[N * 2][N][N];

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    for (int j = 1; j <= m; j++) 
      scanf("%d", &w[i][j]);

  for (int k = 2; k <= n + m; k++) 
    for (int x1 = max(1, k - m); x1 <= min(k - 1, n); x1++) 
      for (int x2 = max(1, k - m); x2 <= min(k - 1, n); x2++) {
        int t = w[x1][k - x1];
        if (x1 != x2) t += w[x2][k - x2];
        for (int a = 0; a < 2; a++)    // 四个方向
          for (int b = 0; b < 2; b++)
            dp[k][x1][x2] = max(dp[k][x1][x2], dp[k - 1][x1 - a][x2 - b] + t);
      }
  printf("%d\n", dp[n + m][n][n]);
  return 0;
}