神经网络函数 神经网络函数公式表示

Tensorflow 笔记：第四讲 

神经网络优化 

4.1 

√神经元模型：用数学公式表示为：

f 为激活函数。神经网络是以神经元为基本单元构成的。

√激活函数：引入非线性激活因素，提高模型的表达力。 

常用的激活函数有 relu、sigmoid、tanh 等。 

① 激活函数 relu: 在 Tensorflow 中，用 tf.nn.relu()表示  relu() 数 学 表 达 式 relu() 数 学 图 形 

② 激活函数 sigmoid：在 Tensorflow 中，用 tf.nn.sigmoid()表示 

  

③ 激活函数 tanh：在 Tensorflow 中，用 tf.nn.tanh()表示 

                   

√神经网络的复杂度：可用神经网络的层数和神经网络中待优化参数个数表示 

√神经网路的层数：一般不计入输入层，层数 = n 个隐藏层 + 1 个输出层 

√神经网路待优化的参数：神经网络中所有参数w 的个数 + 所有参数 b 的个数 

例如：

 

在该神经网络中，包含 1 个输入层、1 个隐藏层和 1 个输出层，该神经网络的层数为 2 层。在该神经网络中，参数的个数是所有参数 w 的个数加上所有参数 b 的总数，第一层参数用三行四列的二阶张量表示（即 12 个线上的权重 w）再加上 4 个偏置 b；第二层参数是四行两列的二阶张量（）即8 个线上的权重 w）再加上 2 个偏置 b。总参数 = 3*4+4 + 4*2+2 = 26。

√损失函数（loss）：用来表示预测值（y）与已知答案（y_）的差距。在训练神经网络时，通过不断改变神经网络中所有参数，使损失函数不断减小，从而训练出更高准确率的神经网络模型。 

√常用的损失函数有均方误差、自定义和交叉熵等。 

√均方误差 mse：n 个样本的预测值 y 与已知答案 y_之差的平方和，再求平均值。 

 

在 Tensorflow 中用 loss_mse = tf.reduce_mean(tf.square(y_ - y)) 例如：预测酸奶日销量 y，x1 和 x2 是影响日销量的两个因素。

应提前采集的数据有：一段时间内，每日的 x1 因素、x2 因素和销量 y_。采集的数据尽量多。

在本例中用销量预测产量，最优的产量应该等于销量。由于目前没有数据集，所以拟造了一套数据集。利用 Tensorflow 中函数随机生成 x1、 x2，制造标准答案 y_ = x1 + x2，为了更真实，求和后还加了正负 0.05 的随机噪声。

我们把这套自制的数据集喂入神经网络，构建一个一层的神经网络，拟合预测酸奶日销量的函数。

代码如下：

 运行结果如下：

由上述代码可知，本例中神经网络预测模型为 y = w1*x1 + w2*x2，损失函数采用均方误差。通过使损失函数值（loss）不断降低，神经网络模型得到最终参数 w1=0.98，w2=1.02，销量预测结果为 y = 0.98*x1 + 1.02*x2。由于在生成数据集时，标准答案为 y = x1 + x2，因此，销量预测结果和标准答案已非常接近，说明该神经网络预测酸奶日销量正确。 

√自定义损失函数：根据问题的实际情况，定制合理的损失函数。 

例如：对于预测酸奶日销量问题，如果预测销量大于实际销量则会损失成本；如果预测销量小于实际销量则会损失利润。在实际生活中，往往制造一盒酸奶的成本和销售一盒酸奶的利润是不等价的。因此，需要使用符合该问题的自定义损失函数。

损失函数表示，若预测结果 y 小于标准答案 y_，损失函数为利润乘以预测结果 y 与标准答案 y_之差；若预测结果 y 大于标准答案 y_，损失函数为成本乘以预测结果 y 与标准答案 y_之差。

用 Tensorflow 函数表示为：

loss = tf.reduce_sum(tf.where(tf.greater(y,y_),COST(y-y_),PROFIT(y_-y)))

① 若酸奶成本为 1 元，酸奶销售利润为 9 元，则制造成本小于酸奶利润，因此希望预测的结果 y 多一些。采用上述的自定义损失函数，训练神经网络模型。 代码如下：

运行结果如下：

由代码执行结果可知，神经网络最终参数为 w1=1.03， w2=1.05，销量预测结果为 y =1.03*x1 + 1.05*x2。由此可见，采用自定义损失函数预测的结果大于采用均方误差预测的结果，更符合实际需求。

②若酸奶成本为 9 元，酸奶销售利润为 1 元，则制造成本大于酸奶利润，因此希望预测结果 y 小一些。采用上述的自定义损失函数，训练神经网络模型。代码如下：

运行结果如下：

由执行结果可知，神经网络最终参数为 w1=0.96，w2=0.97，销量预测结果为 y =0.96*x1 + 0.97*x2。因此，采用自定义损失函数预测的结果小于采用均方误差预测的结果，更符合实际需求。

√交叉熵(Cross Entropy)：表示两个概率分布之间的距离。交叉熵越大，两个概率分布距离越远，两个概率分布越相异；交叉熵越小，两个概率分布距离越近，两个概率分布越相似。

交叉熵计算公式：

用 Tensorflow 函数表示为 

ce= -tf.reduce_mean(y_* tf.log(tf.clip_by_value(y, 1e-12, 1.0))) 例如：

两个神经网络模型解决二分类问题中，已知标准答案为 y_ = (1, 0)，第一个神经网络模型预测结果为

y1=(0.6, 0.4)，第二个神经网络模型预测结果为 y2=(0.8, 0.2)，判断哪个神经网络模型预测的结果更接近标准答案。

根据交叉熵的计算公式得：

H1((1,0),(0.6,0.4)) = -(1*log0.6 + 0*log0.4)  ≈ -(-0.222 + 0) = 0.222

H2((1,0),(0.8,0.2)) = -(1*log0.8 + 0*log0.2)  ≈ -(-0.097 + 0) = 0.097

由于 0.222>0.097，所以预测结果 y2 与标准答案 y_更接近，y2 预测更准确。

√softmax 函数：将 n 分类的 n 个输出（y1,y2…yn）变为满足以下概率分布要求的函数。

softmax 函数应用：在 n 分类中，模型会有 n 个输出，即 y1,y2…yn，其中 yi 表示第 i 种情况出现的可能性大小。将 n 个输出经过 softmax 函数，可得到符合概率分布的分类结果。

√在 Tensorflow 中，一般让模型的输出经过 sofemax 函数，以获得输出分类的概率分布，再与标准答案对比，求出交叉熵，得到损失函数，用如下函数实现：

ce = tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(logits=y, labels=tf.argmax(y_, 1))

cem = tf.reduce_mean(ce)

  

4.2 

√学习率 learning_rate：表示了每次参数更新的幅度大小。学习率过大，会导致待优化的参数在最小值附近波动，不收敛；学习率过小，会导致待优化的参数收敛缓慢。在训练过程中，参数的更新向着损失函数梯度下降的方向。参数的更新公式为：

假设损失函数为 loss = (w + 1)2。梯度是损失函数 loss 的导数为 ∇=2w+2。如参数初值为 5，学习率为 0.2，则参数和损失函数更新如下：  

1 次 参 数 w：5        5 - 0.2 * (2 * 5 + 2) = 2.6

2 次 参 数 w：2.6     2.6 - 0.2 * (2 * 2.6 + 2) = 1.16

3 次 参 数 w：1.16   1.16 – 0.2 * (2 * 1.16 + 2) = 0.296

4 次 参 数 w：0.296     

由图可知，损失函数 loss 的最小值会在(-1,0)处得到，此时损失函数的导数为 0,得到最终参数 w =-1。

代码如下：

运行结果如下：

由结果可知，随着损失函数值的减小，w 无限趋近于-1，模型计算推测出最优参数 w = -1。

√学习率的设置

学习率过大，会导致待优化的参数在最小值附近波动，不收敛；学习率过小，会导致待优化的参数收敛缓慢。 

例如：

① 对于上例的损失函数 loss = (w + 1)2。则将上述代码中学习率修改为 1，其余内容不变。实验结果如下：

 由运行结果可知，损失函数 loss 值并没有收敛，而是在

② 对于上例的损失函数 loss = (w + 1)2。则将上述代码中学习率修改为 0.0001，其余内容不变。实验结果如下：

 

由运行结果可知，损失函数 loss 值缓慢下降，w 值也在小幅度变化，收敛缓慢。

√指数衰减学习率：学习率随着训练轮数变化而动态更新

 

其中，LEARNING_RATE_BASE 为学习率初始值，LEARNING_RATE_DECAY 为学习率衰减率,global_step 记录了当前训练轮数，为不可训练型参数。学习率 learning_rate 更新频率为输入数据集总样本数除以每次喂入样本数。若 staircase 设置为 True 时，表示 global_step/learning rate step 取整数，学习率阶梯型衰减；若 staircase 设置为 false 时，学习率会是一条平滑下降的曲线。

例如：

在本例中，模型训练过程不设定固定的学习率，使用指数衰减学习率进行训练。其中，学习率初值设置为 0.1，学习率衰减率设置为 0.99，BATCH_SIZE 设置为 1。

代码如下：

 

运行结果如下：

由结果可以看出，随着训练轮数增加学习率在不断减小。

 

4.3 

√滑动平均：记录了一段时间内模型中所有参数 w 和 b 各自的平均值。利用滑动平均值可以增强模型的泛化能力。 

√滑动平均值（影子）计算公式： 

√用 Tesnsorflow 函数表示为： 

√ema_op = ema.apply(tf.trainable_variables()) 

其中，ema.apply()函数实现对括号内参数求滑动平均，tf.trainable_variables()函数实现把所有待训练参数汇总为列表。

√with tf.control_dependencies([train_step, ema_op]): 

      train_op = tf.no_op(name='train') 

其中，该函数实现将滑动平均和训练过程同步运行。

查看模型中参数的平均值，可以用 ema.average()函数。例如：在神经网络模型中，将 MOVING_AVERAGE_DECAY 设置为 0.99，参数 w1 设置为 0，w1 的滑动平均值设置为 0。

①开始时，轮数 global_step 设置为 0，参数 w1 更新为 1，则 w1 的滑动平均值为：w1 滑动平均值=min(0.99,1/10)*0+(1– min(0.99,1/10)*1 = 0.9

②当轮数 global_step 设置为 100 时，参数 w1 更新为 10，以下代码 global_step 保持为 100，每次执行滑动平均操作影子值更新，则滑动平均值变为：w1 滑动平均值=min(0.99,101/110)*0.9+(1– min(0.99,101/110)*10 = 0.826+0.818=1.644

③再次运行，参数 w1 更新为 1.644，则滑动平均值变为：w1 滑动平均值=min(0.99,101/110)*1.644+(1– min(0.99,101/110)*10 = 2.328

④再次运行，参数 w1 更新为 2.328，则滑动平均值：w1 滑动平均值=2.956

代码如下：

 

 

 

 运行程序，结果如下：

从运行结果可知，最初参数 w1 和滑动平均值都是 0；参数 w1 设定为 1 后，滑动平均值变为 0.9； 当迭代轮数更新为 100 轮时，参数 w1 更新为 10 后，滑动平均值变为 1.644。随后每执行一次，参数w1的滑动平均值都向参数 w1 靠近。可见，滑动平均追随参数的变化而变化。

 

4.4 

√过拟合：神经网络模型在训练数据集上的准确率较高，在新的数据进行预测或分类时准确率较低，说明模型的泛化能力差。 

√正则化：在损失函数中给每个参数 w 加上权重，引入模型复杂度指标，从而抑制模型噪声，减小过拟合。 

使用正则化后，损失函数 loss 变为两项之和：loss = loss(y 与 y_) + REGULARIZER*loss(w)

其中，第一项是预测结果与标准答案之间的差距，如之前讲过的交叉熵、均方误差等；第二项是正则化计算结果。

例如：

用 300 个符合正态分布的点 X[x0, x1]作为数据集，根据点 X[x0, x1]计算生成标注 Y_，将数据集标注为红色点和蓝色点。标注规则为：当 x02 + x12 < 2 时，y_=1，标注为红色；当 x02 + x12 ≥2 时，y_=0，标注为蓝色。我们分别用无正则化和有正则化两种方法，拟合曲线，把红色点和蓝色点分开。在实际分类时，

如果前向传播输出的预测值 y 接近 1 则为红色点概率越大，接近 0 则为蓝色点概率越大，输出的预测值 y 为 0.5 是红蓝点概率分界线。

在本例子中，我们使用了之前未用过的模块与函数：

√matplotlib 模块：Python 中的可视化工具模块，实现函数可视化 终端安装指令：sudo pip install matplotlib 

√函数 plt.scatter（）：利用指定颜色实现点(x,y)的可视化 plt.scatter (x 坐标, y 坐标, c=”颜色”)  plt.show() 

√收集规定区域内所有的网格坐标点： xx, yy = np.mgrid[起:止:步长, 起:止:步长] #找到规定区域以步长为分辨率的行列网格坐标点grid = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()] #收集规定区域内所有的网格坐标点 √plt.contour()函数：告知 x、y 坐标和各点高度，用 levels 指定高度的点描上颜色plt.contour (x 轴坐标值, y 轴坐标值, 该点的高度, levels=[等高线的高度]) plt.show()

本例代码如下：

执行代码，效果如下：

首先，数据集实现可视化，x 2 + x 2 < 2 的点显示红色， x 2 + x 2 ≥2 的点显示蓝色，如图所示：

接着，执行无正则化的训练过程，把红色的点和蓝色的点分开，生成曲线如下图所示：  

 

最后，执行有正则化的训练过程，把红色的点和蓝色的点分开，生成曲线如下图所示：

 

 对比无正则化与有正则化模型的训练结果，可看出有正则化模型的拟合曲线平滑，模型具有更好的泛化能力。

  

4.5 搭建模块化神经网络八股 

√前向传播：由输入到输出，搭建完整的网络结构描述前向传播的过程需要定义三个函数：

√def forward(x, regularizer):

w=

b=

y=

return y第一个函数 forward()完成网络结构的设计，从输入到输出搭建完整的网络结构，实现前向传播过程。

该函数中，参数 x 为输入，regularizer 为正则化权重，返回值为预测或分类结果

√def get_weight(shape, regularizer):

w = tf.Variable( )   

tf.add_to_collection('losses', tf.contrib.layers.l2_regularizer(regularizer)(w))   

return w 

第二个函数 get_weight()对参数 w 设定。该函数中，参数 shape 表示参数 w 的形状，regularizer 表示正则化权重，返回值为参数 w。其中，tf.variable()给 w 赋初值，tf.add_to_collection()表示将参数 w 正则化损失加到总损失 losses 中。

√def get_bias(shape):       

b =  tf.Variable( )

return b 

第三个函数 get_bias()对参数 b 进行设定。该函数中，参数 shape 表示参数 b 的形状,返回值为参数b。其中，tf.variable()表示给 b 赋初值。

√反向传播：训练网络，优化网络参数，提高模型准确性。

√def backward():

x = tf.placeholder()

y_ = tf.placeholder()

y = forward.forward(x, REGULARIZER)

global_step = tf.Variable(0, trainable=False)

loss =函数 backward()中，placeholder()实现对数据集 x 和标准答案 y_占位，forward.forward()实现前向传播的网络结构，参数 global_step 表示训练轮数，设置为不可训练型参数。

在训练网络模型时，常将正则化、指数衰减学习率和滑动平均这三个方法作为模型优化方法。

√在 Tensorflow 中，正则化表示为： 首先，计算预测结果与标准答案的损失值

①MSE： y 与 y_的差距(loss_mse) = tf.reduce_mean(tf.square(y-y_))

②交叉熵：ce = tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(logits=y, labels=tf.argmax(y_, 1))y 与 y_的差距(cem) = tf.reduce_mean(ce)

③自定义：y 与 y_的差距其次，总损失值为预测结果与标准答案的损失值加上正则化项loss = y 与 y_的差距 + tf.add_n(tf.get_collection('losses'))

√在 Tensorflow 中，指数衰减学习率表示为：

learning_rate = tf.train.exponential_decay(  LEARNING_RATE_BASE,    global_step,         数据集总样本数 / BATCH_SIZE,         LEARNING_RATE_DECAY,          staircase=True) train_step=tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate).minimize(loss, global_step=global_step) 

√在 Tensorflow 中，滑动平均表示为：

ema = tf.train.ExponentialMovingAverage(MOVING_AVERAGE_DECAY, global_step)     

ema_op = ema.apply(tf.trainable_variables())     

with tf.control_dependencies([train_step, ema_op]):

    train_op = tf.no_op(name='train') 

其中，滑动平均和指数衰减学习率中的 global_step 为同一个参数。

√用 with 结构初始化所有参数  

with tf.Session() as sess:

    init_op = tf.global_variables_initializer()        

    sess.run(init_op)  for i in range(STEPS):      

    sess.run(train_step, feed_dict={x: , y_: })             

    if i % 轮 数 == 0: 

        print 

其中，with 结构用于初始化所有参数信息以及实现调用训练过程，并打印出 loss 值。

√判断 python 运行文件是否为主文件if    name   =='   main__': backward() 

该部分用来判断 python 运行的文件是否为主文件。若是主文件，则执行 backword()函数。例如：用 300 个符合正态分布的点 X[x0, x1]作为数据集，根据点 X[x0, x1]的不同进行标注 Y_，将数据集标注为红色和蓝色。

标注规则为：当 x 2 + x 2 < 2 时，y_=1，点 X 标注为红色；当 x 2 + x 2 ≥2 时， y_=0，点 X 标注为蓝色。

我们加入指数衰减学习率优化效率，加入正则化提高泛化性，并使用模块化设计方法，把红色点和蓝色点分开。代码总共分为三个模块： 生成数据集(generateds.py) 、前向传播(forward.py) 、反向传播(backward.py)。  

①生成数据集的模块(generateds.py)

②前向传播模块(forward.py)

③反向传播模块(backward.py)

 

运行代码，结果如下：

 

由运行结果可见，程序使用模块化设计方法，加入指数衰减学习率，使用正则化后，红色点和蓝色点的分割曲线相对平滑，效果变好。