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求某个变量的取值集合及函数的定义域、值域和不等式的解集，一定要写成集合或区间的形式,不要写成不等式例如
的形式.
- 求一个函数的解析式(特别是应用题)时，一定要注明定义域！
- 求一个函数的解析式(特别是应用题)时，一定要注明定义域！
- 求一个函数的解析式(特别是应用题)时，一定要注明定义域！
(一)函数定义域的概念
在函数
，
中，
叫做自变量，
的取值范围
叫做函数的定义域。
(二)常见函数的定义域
- 一般情况下，一次函数
- ，二次函数
- ，指数函数
- 正弦函数
- 和余弦函数
- 的定义域都为
- 。
- 对数函数
- 的定义域为
- 。
- 正切函数
- 的定义域为
- 。
- 幂函数
- (
- 互质且
- )
- 当
- ，
- 为奇数且
- 时，定义域为
- ；
- 当
- 为奇数
- 为偶数且
- 时，定义域为
- ；
- 当
- ，
- 为奇数且
- 时，定义域为
- ；
- 当
- 是奇数，
- 为偶数且
- 时，定义域为
- ；
(三)已知函数解析式，求定义域
- 若
- 的解析式是整式，则其定义域为
- ；
- 若
- 的解析式是分式，则其定义域是使分母不为
- 的实数的集合；
- 若
- 的解析式是偶次根式或可化为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于
- 的实数的集合；
- 若
- 的解析式是指数式，若指数为负指数或
- 指数，则其底数不为
- ，若指数含变量，则其底数应为大于
- 且不等于
- ；
- 若
- 的解析式是对数式，则真数应大于
- ，若底数含未知数，则底数大于
- 且不等于
- ；
- 若
- 的解析式是正切函数，则正切后部分不为
- ；
- 若
- 是有限个函数四则运算得到，则其定义域为这几个函数定义域的交集(若含除法，则除式不为
- )．
【例】求函数
的定义域。【答】
这类题目比较简单，解答过程中细心即可，不再举例。
(四)求抽象函数的定义域
- 已知
- 的定义域
- ，求复合函数
- 的定义域应由
- 解出；
- 已知
- 的定义域
- ,求
- 的定义域，不能从得到的
- 的解析式中求得，
- 的定义域是函数
- 在
- 上的值域．
【例】已知函数
定义域
，求
的定义域，解不等式
即为所求．【例】已知
，求函数
的定义域。错解：先求得
，再求得定义域为
;正解：由真数大于
得
，
，
的定义域为
(五)已知定义域求参数(确定参数取值范围)问题
【例】已知函数
定义域为
，求实数
的取值范围。【解】一定要讨论
和
两种情况：当
时符合题意；当
时，要使函数
的定义域为
，则
且
，可得
。综上，实数
的取值范围为
.
对于函数或方程或不等式问题，如果最高次项的系数是字母，则要注意讨论字母为零的情况(注意：题中条件中有隐含不为0的不要讨论)．
(六)定义域为R和值域为R两种不同的求解思路
【例】已知函数
- (1)若函数的定义域是
- ,求实数
- 的取值范围;
- (2)若函数的值域是
- ,求实数
- 的取值范围.
【解】
- 当
- 时满足条件，当
- 时，
- ，综上所述：实数
- 的取值范围是
- ;
- 当
- 时不满足条件，当
- 时,
- ，综上所述：实数
- 的取值范围是
- .
【练】
已知
，则
的值域为
的充要条件是( )
(七)定义域与函数单调性
【例】求函数
的单调递增区间。
【解】根据复合函数单调性即可求解，注意定义域即可。
函数
的定义域为
，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求
的单调递减区间，结合函数
的定义域，得
单调递增区间为
．
在解决函数问题时，要注意定义域优先的原则，要注意函数的定义域不能是空集．
一切函数的问题都要在其定义域内研究和解决，例如求函数的单调区间，求函数的值域或最值等都应应先求函数的定义域．
-END-
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