这是《AI初识境》第6篇，这次我们说说Normalization。所谓初识，就是对相关技术有基本了解，掌握了基本的使用方法。
数据经过归一化和标准化后可以加快梯度下降的求解速度，这就是Batch Normalization等技术非常流行的原因，它使得可以使用更大的学习率更稳定地进行梯度传播，甚至增加网络的泛化能力。
今天就来说说和Batch Normalization相关的概念。
作者&编辑 | 言有三
1 什么是归一化/标准化
Normalization是一个统计学中的概念，我们可以叫它归一化或者规范化，它并不是一个完全定义好的数学操作(如加减乘除)。它通过将数据进行偏移和尺度缩放调整，在数据预处理时是非常常见的操作，在网络的中间层如今也很频繁的被使用。
1. 线性归一化
最简单来说，归一化是指将数据约束到固定的分布范围，比如8位图像的0～255像素值，比如0～1。
在数字图像处理领域有一个很常见的线性对比度拉伸操作：
X=(x-xmin)/(xmax-mxin)
它常常可以实现下面的增强对比度的效果。
不过以上的归一化方法有个非常致命的缺陷，当X最大值或者最小值为孤立的极值点，会影响性能。
2. 零均值归一化/Z-score标准化
零均值归一化也是一个常见的归一化方法，被称为标准化方法，即每一变量值与其平均值之差除以该变量的标准差。
经过处理后的数据符合均值为0，标准差为1的分布，如果原始的分布是正态分布，那么z-score标准化就将原始的正态分布转换为标准正态分布，机器学习中的很多问题都是基于正态分布的假设，这是更加常用的归一化方法。
以上两种方法都是线性变换，对输入向量X按比例压缩再进行平移，操作之后原始有量纲的变量变成无量纲的变量。不过它们不会改变分布本身的形状，下面以一个指数分布为例：
如果要改变分布本身的形状，下面也介绍两种。
3.正态分布Box-Cox变换
box-cox变换可以将一个非正态分布转换为正态分布，使得分布具有对称性，变换公式如下：
在这里lamda是一个基于数据求取的待定变换参数，Box-Cox的效果如下。
4. 直方图均衡化
直方图均衡也可以将某一个分布归一化到另一个分布，它通过图像的灰度值分布，即图像直方图来对图像进行对比度进调整，可以增强局部的对比度。
它的变换步骤如下：
(1)计算概率密度和累积概率密度。
(2)创建累积概率到灰度分布范围的单调线性映射T。
(3)根据T进行原始灰度值到新灰度值的映射。
直方图均衡化将任意的灰度范围映射到全局灰度范围之间，对于8位的图像就是(0,255)，它相对于直接线性拉伸，让分布更加均匀，对于增强相近灰度的对比度很有效，如下图。
综上，归一化数据的目标，是为了让数据的分布变得更加符合期望，增强数据的表达能力。
在深度学习中，因为网络的层数非常多，如果数据分布在某一层开始有明显的偏移，随着网络的加深这一问题会加剧(这在BN的文章中被称之为internal covariate shift)，进而导致模型优化的难度增加，甚至不能优化。所以，归一化就是要减缓这个问题。
2 Batch Normalization
1、基本原理
现在一般采用批梯度下降方法对深度学习进行优化，这种方法把数据分为若干组，按组来更新参数，一组中的数据共同决定了本次梯度的方向，下降时减少了随机性。另一方面因为批的样本数与整个数据集相比小了很多，计算量也下降了很多。
Batch Normalization(简称BN)中的batch就是批量数据，即每一次优化时的样本数目，通常BN网络层用在卷积层后，用于重新调整数据分布。假设神经网络某层一个batch的输入为X=[x1,x2,...,xn]，其中xi代表一个样本，n为batch size。
首先，我们需要求得mini-batch里元素的均值：
接下来，求取mini-batch的方差：
这样我们就可以对每个元素进行归一化。
最后进行尺度缩放和偏移操作，这样可以变换回原始的分布，实现恒等变换，这样的目的是为了补偿网络的非线性表达能力，因为经过标准化之后，偏移量丢失。具体的表达如下，yi就是网络的最终输出。
假如gamma等于方差，beta等于均值，就实现了恒等变换。
从某种意义上来说，gamma和beta代表的其实是输入数据分布的方差和偏移。对于没有BN的网络，这两个值与前一层网络带来的非线性性质有关，而经过变换后，就跟前面一层无关，变成了当前层的一个学习参数，这更加有利于优化并且不会降低网络的能力。
对于CNN，BN的操作是在各个特征维度之间单独进行，也就是说各个通道是分别进行Batch Normalization操作的。
如果输出的blob大小为(N,C,H,W)，那么在每一层normalization就是基于N*H*W个数值进行求平均以及方差的操作，记住这里我们后面会进行比较。
2.BN带来的好处。
(1) 减轻了对参数初始化的依赖，这是利于调参的朋友们的。
(2) 训练更快，可以使用更高的学习率。
(3) BN一定程度上增加了泛化能力，dropout等技术可以去掉。
3.BN的缺陷
从上面可以看出，batch normalization依赖于batch的大小，当batch值很小时，计算的均值和方差不稳定。研究表明对于ResNet类模型在ImageNet数据集上，batch从16降低到8时开始有非常明显的性能下降，在训练过程中计算的均值和方差不准确，而在测试的时候使用的就是训练过程中保持下来的均值和方差。
这一个特性，导致batch normalization不适合以下的几种场景。
(1)batch非常小，比如训练资源有限无法应用较大的batch，也比如在线学习等使用单例进行模型参数更新的场景。
(2)rnn，因为它是一个动态的网络结构，同一个batch中训练实例有长有短，导致每一个时间步长必须维持各自的统计量，这使得BN并不能正确的使用。在rnn中，对bn进行改进也非常的困难。不过，困难并不意味着没人做，事实上现在仍然可以使用的，不过这超出了咱们初识境的学习范围。
4.BN的改进
针对BN依赖于batch的这个问题，BN的作者亲自现身提供了改进，即在原来的基础上增加了一个仿射变换。
其中参数r，d就是仿射变换参数，它们本身是通过如下的方式进行计算的
其中参数都是通过滑动平均的方法进行更新
所以r和d就是一个跟样本有关的参数，通过这样的变换来进行学习，这两个参数在训练的时候并不参与训练。
在实际使用的时候，先使用BN进行训练得到一个相对稳定的移动平均，网络迭代的后期再使用刚才的方法，称为Batch Renormalization，当然r和d的大小必须进行限制。
3 Batch Normalization的变种
Normalization思想非常简单，为深层网络的训练做出了很大贡献。因为有依赖于样本数目的缺陷，所以也被研究人员盯上进行改进。说的比较多的就是Layer Normalization与Instance Normalization，Group Normalization了。
前面说了Batch Normalization各个通道之间是独立进行计算，如果抛弃对batch的依赖，也就是每一个样本都单独进行normalization，同时各个通道都要用到，就得到了Layer Normalization。
跟Batch Normalization仅针对单个神经元不同，Layer Normalization考虑了神经网络中一层的神经元。如果输出的blob大小为(N,C,H,W)，那么在每一层Layer Normalization就是基于C*H*W个数值进行求平均以及方差的操作。
Layer Normalization把每一层的特征通道一起用于归一化，如果每一个特征层单独进行归一化呢？也就是限制在某一个特征通道内，那就是instance normalization了。
如果输出的blob大小为(N,C,H,W)，那么在每一层Instance Normalization就是基于H*W个数值进行求平均以及方差的操作。对于风格化类的图像应用，Instance Normalization通常能取得更好的结果，它的使用本来就是风格迁移应用中提出。
Group Normalization是Layer Normalization和Instance Normalization 的中间体， Group Normalization将channel方向分group，然后对每个Group内做归一化，算其均值与方差。
如果输出的blob大小为(N,C,H,W)，将通道C分为G个组，那么Group Normalization就是基于G*H*W个数值进行求平均以及方差的操作。我只想说，你们真会玩，要榨干所有可能性。
在Batch Normalization之外，有人提出了通用版本Generalized Batch Normalization，有人提出了硬件更加友好的L1-Norm Batch Normalization等，不再一一讲述。
另一方面，以上的Batch Normalization，Layer Normalization，Instance Normalization都是将规范化应用于输入数据x，Weight normalization则是对权重进行规范化，感兴趣的可以自行了解，使用比较少，也不在我们的讨论范围。
这么多的Normalization怎么使用呢？有一些基本的建议吧，不一定是正确答案。
(1) 正常的处理图片的CNN模型都应该使用Batch Normalization。只要保证batch size较大(不低于32)，并且打乱了输入样本的顺序。如果batch太小，则优先用Group Normalization替代。
(2)对于RNN等时序模型，有时候同一个batch内部的训练实例长度不一(不同长度的句子)，则不同的时态下需要保存不同的统计量，无法正确使用BN层，只能使用Layer Normalization。
(3) 对于图像生成以及风格迁移类应用，使用Instance Normalization更加合适。
4 Batch Normalization的思考
最后是关于Batch Normalization的思考，应该说，normalization机制至今仍然是一个非常open的问题，相关的理论研究一直都有，大家最关心的是Batch Normalization怎么就有效了。
之所以只说Batch Normalization，是因为上面的这些方法的差异主要在于计算normalization的元素集合不同。Batch Normalization是N*H*W，Layer Normalization是C*H*W，Instance Normalization是H*W，Group Normalization是G*H*W。
关于Normalization的有效性，有以下几个主要观点：
(1) 主流观点，Batch Normalization调整了数据的分布，不考虑激活函数，它让每一层的输出归一化到了均值为0方差为1的分布，这保证了梯度的有效性，目前大部分资料都这样解释，比如BN的原始论文认为的缓解了Internal Covariate Shift(ICS)问题。
(2) 可以使用更大的学习率，文[2]指出BN有效是因为用上BN层之后可以使用更大的学习率，从而跳出不好的局部极值，增强泛化能力，在它们的研究中做了大量的实验来验证。
(3) 损失平面平滑。文[3]的研究提出，BN有效的根本原因不在于调整了分布，因为即使是在BN层后模拟ICS，也仍然可以取得好的结果。它们指出，BN有效的根本原因是平滑了损失平面。之前我们说过，Z-score标准化对于包括孤立点的分布可以进行更平滑的调整。
算了，让大佬先上吧。
[1] Ioffe S, Szegedy C. Batch normalization: Accelerating deep network training by reducing internal covariate shift[J]. arXiv preprint arXiv:1502.03167, 2015.
[2] Bjorck N, Gomes C P, Selman B, et al. Understanding batch normalization[C]//Advances in Neural Information Processing Systems. 2018: 7705-7716.
[3] Santurkar S, Tsipras D, Ilyas A, et al. How does batch normalization help optimization?[C]//Advances in Neural Information Processing Systems. 2018: 2488-2498.
总结
BN层技术的出现确实让网络学习起来更加简单了，降低了调参的工作量，不过它本身的作用机制还在被广泛研究中。几乎就像是深度学习中没有open问题的一个缩影，BN到底为何，还无定论，如果你有兴趣和时间，不妨也去踩一坑。
下期预告：论深度学习中的优化方法
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