对称二叉树
- 题目描述
- 思路及实现
- 方式一：递归（推荐）
- 思路
- 代码实现
- Java版本
- C语言版本
- Python3版本
- 复杂度分析
- 方式二：队列（迭代）
- 思路
- 代码实现
- Java版本
- C语言版本
- Python3版本
- 复杂度分析
- 总结
- 相似题目
- 标签：二叉树递归、对称性判断
题目描述
给你一个二叉树的根节点 root ， 检查它是否轴对称。
示例 1：
输入：root = [1,2,2,3,4,4,3] 输出：true 示例 2：
输入：root = [1,2,2,null,3,null,3] 输出：false
提示：
树中节点数目在范围 [1, 1000] 内
-100 <= Node.val <= 100进阶：你可以运用递归和迭代两种方法解决这个问题吗？
原题： LeetCode 101
思路及实现
方式一：递归（推荐）
思路
乍一看无从下手，但用递归其实很好解决。
根据题目的描述，镜像对称，就是左右两边相等，也就是左子树和右子树是相当的。
注意这句话，左子树和右子相等，也就是说要递归的比较左子树和右子树。
我们将根节点的左子树记做 left，右子树记做 right。比较 left 是否等于 right，不等的话直接返回就可以了。
如果相当，比较 left 的左节点和 right 的右节点，再比较 left 的右节点和 right 的左节点
比如看下面这两个子树(他们分别是根节点的左子树和右子树)，能观察到这么一个规律：
左子树 2 的左孩子 == 右子树 2 的右孩子左子树 2 的右孩子 == 右子树 2 的左孩子
根据上面信息可以总结出递归函数的两个终止条件：
- left 和 right 不等，或者 left 和 right 都为空
- 递归的比较 left，left 和 right.right，递归比较
left，right 和 right.left
代码实现
Java版本
class Solution {
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true; // 如果根节点为null，即空树，视为对称二叉树，返回true
}
return isMirror(root.left, root.right); // 调用isMirror方法判断左子树和右子树是否对称
}
private boolean isMirror(TreeNode left, TreeNode right) {
if (left == null && right == null) {
return true; // 如果左子树和右子树都为null，也视为对称，返回true
}
if (left == null || right == null) {
return false; // 如果左子树和右子树只有一个为null，视为不对称，返回false
}
return left.val == right.val && isMirror(left.left, right.right) && isMirror(left.right, right.left);
// 如果左子树和右子树的值相等，且同时满足左子树的左子树和右子树的右子树对称，
// 以及左子树的右子树和右子树的左子树对称，则视为对称，返回true；否则，返回false
}
}说明：
isSymmetric方法是该函数的入口，接收一个二叉树的根节点作为参数。首先判断根节点是否为null，如果是，即空树，视为对称二叉树，返回true。否则，调用isMirror 方法来判断左子树和右子树是否对称。isMirror方法是递归判断左右子树是否对称的函数。首先判断左子树和右子树是否都为null，如果是，即均为空树，视为对称，返回true。然后判断左子树和右子树中只有一个为null的情况，即一个为空树一个不为空树，视为不对称，返回false。最后，判断左子树的值和右子树的值是否相等，并且同时递归判断左子树的左子树和右子树的右子树是否对称，以及递归判断左子树的右子树和右子树的左子树是否对称。只有全部满足才视为对称，返回true；否则，返回false。
C语言版本
#include <stdbool.h>
/*struct TreeNode {
int val;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
};
*/
bool isMirror(struct TreeNode *left, struct TreeNode *right);
bool isSymmetric(struct TreeNode *root) {
if (root == NULL) {
return true; // 如果根节点为NULL，即空树，视为对称二叉树，返回true
}
return isMirror(root->left, root->right); // 调用isMirror函数判断左子树和右子树是否对称
}
bool isMirror(struct TreeNode *left, struct TreeNode *right) {
if (left == NULL && right == NULL) {
return true; // 如果左子树和右子树都为NULL，也视为对称，返回true
}
if (left == NULL || right == NULL) {
return false; // 如果左子树和右子树只有一个为NULL，视为不对称，返回false
}
return (left->val == right->val) && isMirror(left->left, right->right) && isMirror(left->right, right->left);
// 如果左子树和右子树的值相等，并且同时满足左子树的左子树和右子树的右子树对称，
// 以及左子树的右子树和右子树的左子树对称，则视为对称，返回true；否则，返回false
}Python3版本
class Solution:
def isSymmetric(self, root: TreeNode) -> bool:
if root is None:
return True # 如果根节点为空，返回True，空树被认为是对称的
return self.isMirror(root.left, root.right)
def isMirror(self, left: TreeNode, right: TreeNode) -> bool:
if left is None and right is None:
return True # 如果左子树和右子树都为空，认为是对称的
if left is None or right is None:
return False # 如果左子树和右子树只有一个为空，不对称
return left.val == right.val and self.isMirror(left.left, right.right) and self.isMirror(left.right, right.left)
# 比较左子树的左子树和右子树的右子树，以及左子树的右子树和右子树的左子树，满足条件才认为是对称的
# 假设定义了TreeNode类，包含val、left和right属性
class TreeNode:
def __init__(self, val: int = 0, left: TreeNode = None, right: TreeNode = None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right说明：代码中使用了 TreeNode 类来定义树节点，包含 val、left 和 right 属性。其中 val 存储节点的值，left 和
right 存储左子树和右子树的引用。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 表示树的节点数。
- 空间复杂度：O(n)，递归调用的栈空间最多为树的高度。
方式二：队列（迭代）
思路
回想下递归的实现：
当两个子树的根节点相等时，就比较:
左子树的 left 和 右子树的 right，这个比较是用递归实现的。
现在我们改用队列来实现，思路如下：
首先从队列中拿出两个节点(left 和 right)比较：
将 left 的 left 节点和 right 的 right 节点放入队列
将 left 的 right 节点和 right 的 left 节点放入队列
代码实现
Java版本
//leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
import java.util.LinkedList;
class Solution {
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
if (root == null) {
return false; // 根节点为空，不算对称
}
if (root.left == null && root.right == null) {
return true; // 左右子树都为空，算对称
}
LinkedList<TreeNode> queue = new LinkedList(); // 使用队列来保存待比较的节点
queue.add(root.left);
queue.add(root.right);
while (queue.size() > 0) {
TreeNode left = queue.removeFirst();
TreeNode right = queue.removeFirst();
// 只要两个节点都为空，继续循环；两者有一个为空，返回false
if (left == null && right == null) {
continue;
}
if (left == null || right == null) {
return false;
}
// 判断两个节点的值是否相等
if (left.val != right.val) {
return false;
}
// 将左节点的左子节点和右节点的右子节点放入队列
queue.add(left.left);
queue.add(right.right);
// 将左节点的右子节点和右节点的左子节点放入队列
queue.add(left.right);
queue.add(right.left);
}
return true;
}
}
//leetcode submit region end(Prohibit modification and deletion)说明：
这段代码使用迭代方法判断二叉树是否对称。在 isSymmetric 方法中，首先判断根节点是否为空，如果为空，返回 false，表示不对称。然后，如果根节点的左右子树都为空，返回 true，表示对称（只有一个元素的case）。
接下来，创建一个队列 queue，并将根节点的左子节点和右子节点加入队列。然后进入循环，每次从队列中取出两个节点进行比较。在比较过程中，只要两个节点均为空，继续循环；如果只有一个节点为空，返回
false，表示不对称。然后，比较两个节点的值是否相等，如果不相等，返回 false。将左节点的左子节点和右节点的右子节点放入队列，用于后续比较。同时，将左节点的右子节点和右节点的左子节点放入队列，也用于后续比较。
当队列为空时，表示所有节点都已比较完毕，没有发现不对称的情况，返回 true，表示对称。
这段代码使用了迭代方法，利用队列存储待比较的节点，逐层按顺序比较，避免了递归方法的额外栈空间开销。
C语言版本
// leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
#include <stdbool.h>
struct TreeNode {
int val;
struct TreeNode *left;
struct TreeNode *right;
};
bool isSymmetric(struct TreeNode* root) {
if (root == NULL) {
return false; // 根节点为空，不算对称
}
struct TreeNode* queue[10000]; // 使用队列来保存待比较的节点
int front = 0, rear = 0;
queue[rear++] = root->left;
queue[rear++] = root->right;
while (rear != front) {
struct TreeNode* left = queue[front++];
struct TreeNode* right = queue[front++];
// 只要两个节点都为空，继续循环；两者有一个为空，返回false
if (left == NULL && right == NULL) {
continue;
}
if (left == NULL || right == NULL) {
return false;
}
// 判断两个节点的值是否相等
if (left->val != right->val) {
return false;
}
// 将左节点的左子节点和右节点的右子节点放入队列
queue[rear++] = left->left;
queue[rear++] = right->right;
// 将左节点的右子节点和右节点的左子节点放入队列
queue[rear++] = left->right;
queue[rear++] = right->left;
}
return true;
}
//leetcode submit region end(Prohibit modification and deletion)说明：
这段代码使用C语言实现了迭代方法来判断二叉树是否对称。在 isSymmetric 函数中，首先判断根节点是否为空，如果为空，返回 false，表示不对称。
创建一个队列 queue，使用数组来保存待比较的节点。使用 front 和 rear 变量分别表示队首和队尾的索引。
将根节点的左子节点和右子节点依次加入队列 queue。
然后进入循环，每次从队列中取出两个节点进行比较。
在比较过程中，只要两个节点均为空，继续循环；如果只有一个节点为空，返回
false，表示不对称。然后，比较两个节点的值是否相等，如果不相等，返回 false。将左节点的左子节点和右节点的右子节点放入队列，用于后续比较。同时，将左节点的右子节点和右节点的左子节点放入队列，也用于后续比较。
当队列为空时，表示所有节点都已比较完毕，没有发现不对称的情况，返回 true，表示对称。
这段代码使用了迭代方法，利用数组队列方式存储待比较的节点，逐个按序比较，避免了递归方法的额外栈空间开销。
Python3版本
class Solution:
def isSymmetric(self, root: TreeNode) -> bool:
if root is None:
return False # 根节点为空，不算对称
queue = []
queue.append(root.left)
queue.append(root.right)
while queue:
left = queue.pop(0)
right = queue.pop(0)
if left is None and right is None:
continue # 只要两个节点都为空，继续循环
if left is None or right is None:
return False # 两者有一个为空，返回False，不对称
if left.val != right.val:
return False # 节点值不相等，不对称
queue.append(left.left) # 左节点的左子节点入队列
queue.append(right.right) # 右节点的右子节点入队列
queue.append(left.right) # 左节点的右子节点入队列
queue.append(right.left) # 右节点的左子节点入队列
return True # 队列为空，所有节点比较完毕，对称说明：（基础说明可查看java或者c的实现）
- 在函数参数的类型注解中，使用了 TreeNode 类型来标注 root 参数的类型。
- 使用了 is 运算符来判断节点是否为 None。is 运算符比较的是对象的身份标识，用于判断对象是否是同一个对象。这里用它来判断节点是否为None。
- 使用了列表 queue 来实现队列的功能，通过 append() 方法将节点加入队列的尾部，通过 pop(0)
方法来从队列的头部取出节点。Python的列表可以很方便地实现队列的功能。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)，其中 n 表示树的节点数。在最坏情况下，需要遍历树的所有节点。
- 空间复杂度：O(n)，最坏情况下，队列中需要存储树的一层节点，所以空间复杂度与树的高度有关。在最坏情况下，树的高度为 n/2，因此空间复杂度为 O(n)。
综合来看，这个算法的时间复杂度和空间复杂度都是 O(n)，其中 n 表示树的节点数。算法的性能随着节点数的增加而线性增长。
总结
方法 | 优点 | 缺点 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
递归法 | - 直观易懂 - 代码相对简洁 | - 可能导致函数调用栈溢出的风险 - 需要额外的空间来存储函数调用栈 | O(n) | O(n) |
队列法 | - 不会导致函数调用栈溢出的风险 - 无需递归，代码较为直观 - 灵活的节点入队和出队顺序 | - 需要手动维护队列数据结构和追踪节点的层次 - 需要额外的空间来存储队列和节点的信息 | O(n) | O(m) |
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