多叉树简述
b树
b树是最普通的一类多叉树，一个m阶的b树具有如下几个特征：
- b树中所有节点的的子节点数的最大值称为b树的阶
- 一个节点有k个孩子，那么必有k-1个关键字才能将子节点划分为k个子集
- 根结点至少有两个子女。
- 每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 ceil（m/2） ≤ k ≤ m
- 每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 ceil（m/2） ≤ k ≤ m
- 所有的叶子结点都位于同一层。
- 每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划分
- 每个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）
其中，Ki(1≤i≤n)为关键字，且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。
Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的关键字均小于Ki+1。
n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。
例如：
三阶b树:最大子节点数量为3,节点关键字为2个
查询操作
以上图为例：若查询的数值为５：
第一次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与17、35比较），比17小，左子树；
第二次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与８、12比较），比８小，左子树；
第三次磁盘ＩＯ：在内存中定位（与3、5比较），找到5，终止。
整个过程中，我们可以看出：比较的次数并不比二叉查找树少，尤其适当某一节点中的数据很多时，但是磁盘IO的次数却是大大减少。比较是在内存中进行的，相比于磁盘IO的速度，比较的耗时几乎可以忽略。所以当树的高度足够低的话，就可以极大的提高效率。相比之下，节点中的元素多点也没关系，仅仅是多了几次内存交互而已，只要不超过磁盘页的大小即可。现在重点关注的就是磁盘IO的次数
插入操作
若被插入节点的关键字个数 < m-1 ，则直接插入
若被插入节点的关键字个数等于m-1，则会引起该节点分裂，将节点中间值插入到该节点的父节点
重复上述工作，最坏情况一直分裂到根结点，建立一个新的根结点，整个B树增加一层。
eg：插入4
会引起节点分裂，将中间值4提到父节点,若扔引起分裂，重复操作
之所以要分裂，其实就是维护多叉树平衡的一个性质，相当于平衡树中的旋转
删除操作
Ｂ树中关键字的删除比插入更复杂，在这里说下跟b树插入节点类似的一种删除方法:
eg:删除11
但是删除后12只有右子节点了，需要判断其左右兄弟结点中有“多余”的关键字，即：原关键字个数n>=ceil(m/2) - 1
右子节点分裂
补充：
- B树主要用于文件系统以及部分数据库索引，例如： MongoDB。而大部分关系数据库则使用B+树做索引，例如：mysql数据库；
- 从查找效率考虑一般要求B树的阶数m >= 3;
- B-树上算法的执行时间主要由读、写磁盘的次数来决定，故一次I/O操作应读写尽可能多的信息。因此B-树的结点规模一般以一个磁盘页为单位。一个结点包含的关键字及其孩子个数取决于磁盘页的大小。
b+树
Ｂ＋树是Ｂ树的变种，有着比Ｂ树更高的查询效率
特征：
- 有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据
都保存在叶子节点。 - 所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小
自小而大顺序链接。 - 所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。
eg：三阶b+树
查找
B+树通常有两个指针，一个指向根结点，另一个指向关键字最小的叶子结点。因些，对于B+树进行查找两种运算：一种是从最小关键字起顺序查找，另一种是从根结点开始，进行随机查找。
B+树相比B树的优势：
- b+树中间节点存储的是数据在叶节点的索引，可以包含的关键字更多,单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少；
- 所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定；
- 所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。
eg:范围查询
b树范围查询：
b+树：
