相对于复杂度分析，还有一个对立的分析方法，叫做事后统计法，但它有两个缺点：

  1. 测试结果非常依赖测试环境
  2. 测试结果受数据规模的影响很大

我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要讲的时间、空间复杂度分析方法。

一、大 O 复杂度表示法

对于大O复杂度表示法，我们可以把它总结成一个公式：

大数据分析各种算法 大数据分析常用算法_大数据分析各种算法

其中，T(n) 表示代码执行的时间，即我们平时所说的时间复杂度；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

二、时间复杂度

时间复杂度的概念很好理解，就是算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。下面我们直接来分析一段代码的时间复杂度了，示例代码如下，请计算函数f()的时间复杂度：

void f(int n) {
   int sum = 0; //执行1次
   int i = 1;   //执行1次
   int j = 1;   //执行1次
   
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;                //执行n的平方次
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j; //执行n的平方次
     }
   }
 }

结果已经在代码注释里写着了，所以T(n) = 1 + 1 +1 + n + n²；当 n 很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，就可以记为：T(n) = O(n2)。

关于时间复杂度的计算，请记住以下几个规则：

  • 1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
  • 2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
  • 3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见时间复杂度包括以下几种，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。

大数据分析各种算法 大数据分析常用算法_算法_02

下面我们重点分析其中的几个时间复杂度分析过程。

1. O(1)

首先你必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。

//执行次数与n无关
void f(n){
    int i = 8; 
    int j = 6; 
    int sum = i + j;
}

总结一下，只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

//执行次数与n无关
void f(n){
    i=1; 
    while (i <= n) {
        i = i * 3; //执行次数为log3(n)次
    }
}

上面代码的计算过程也很简单，假设执行次数为x，则执行的次数为3^x = n,所以x=log3(n)，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log3(n))。又因为log3n 就等于 log3(2) * log2(n)，其中 log3(2) 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

3. O(m+n)、O(m*n)

我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩，先看代码！

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i; //执行m次
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j; //执行n次
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

三、空间复杂度

空间复杂度表示的是算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。相对于时间复杂度，空间复杂度非常简单，下面通过一个代码来解释：

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n]; //申请了n个int内存
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了

内容小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

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