学习深度学习看到卷积这个operation，为了理解它查了一些资料，有幸看到一个大佬的总结，再加上一些自己的想法，做一个总结。
一、卷积的定义
内涵：
在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分的面积。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：
可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为 
定义：
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果卷积的变量是序列
和
，则卷积的结果
其中星号*表示卷积。当时序
时，序列
是
的时序
取反的结果；时序取反使得
以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使
位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。这句话解释了内涵中翻转和平移的重叠部分的面积。n=0时，
,函数
翻转180度，平移n（此时为0），然和乘积求和。如果卷积的变量是函数
和
，则卷积的计算变为
，其中
是积分变量，积分也是求和，
是使函数
位移的量，星号*表示卷积。
二、理解卷积
首先选取知乎上对卷积物理意义解答排名最靠前的回答。
不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积（上边我们讲了使用翻转的 - -）。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。
这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。
直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。
已知
已知
下面通过演示求
的过程，揭示卷积的物理意义。第一步，
乘以
并平移到位置0：
第二步，
乘以
并平移到位置1 ：
第三步，
乘以
并平移到位置2：
最后，把上面三个图叠加，就得到了
：
无非是平移（没有反褶！）、叠加。
从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。
重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加
我们也可以根据公式来看,令
，
那么
，
，
，
，
。
三、卷积的应用
用一个模板和一幅图像进行卷积，对于图像上的一个点，让模板的原点和该点重合，然后模板上的点和图像上对应的点相乘，然后各点的积相加，就得到了该点的卷积值。对图像上的每个点都这样处理。由于大多数模板都是对称的，所以模板不旋转。卷积是一种积分运算，用来求两个曲线重叠区域面积。可以看作加权求和，可以用来消除噪声、特征增强。
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。
四、直观感受的例子
点积是计算两个向量相似性的一种重要度量。看以下例子
a中是一个形如sin的信号和本身求点积；b是sin信号和一个形如cos的信息求点积；c是该信号和一个随机产生的向量求点积。a两个信号相似程度最高，得到了最大值，c得到了负值，从视觉上看也是差异最高的。
上面是一个长度为20的sin信号两边各接一个长度为20的随机信号作为一个新的带卷积信号，然后定义个倒序之后就是sin波形的信号作为卷积核。
上面是带卷积信号，下面是结果。在形如sin的信号划过被卷积信号的形如sin的区域时，卷积结果的值最大。从信号的角度，可以把卷积看做是卷积核作为一个滤波器，卷积的结果则是被卷积信号在这个滤波器上的响应。所以大体上越是和卷积核倒序之后相似的信号越是获得越大的响应。
这个例子中卷积核起到了纵向边缘查找的作用。
参考文献：
《深度学习》 Ian GoodFellow.
《深度学习与计算机视觉》 叶韵.
