机器学习 均值标准化

数据预处理之归一化/标准化/正则化/零均值化

• 一、标准化(Standardization)
• 二、归一化（Normalization）
• 三，中心化/零均值化 （Zero-centered）
• 四、正则化
• 五， boxcox变换
• 六， 非线性归一化

• sigmoid变换(sigmoid函数)
• softmax变换(softmax函数)

• 七，标准化(Standardization)与归一化(Normalization)的联系和差异

• 1. 联系
• 2. 差异
• 3. 什么时候使用
• 4. 是否所有情况都用Standardization或Normalization

• 其它

一、标准化(Standardization)

统计学中叫Z-Score

将数据变换为均值μ为0，标准差σ为1的分布切记，并非一定是正态的；

将数据按期属性（按列进行）减去其均值，并处以其方差。得到的结果是，对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差为1。

实现时，有两种不同的方式：

• 使用sklearn.preprocessing.scale()函数，可以直接将给定数据进行标准化。

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
X = np.array([[1., -1., 2.],
              [2., 0., 0.],
              [0., 1., -1.]])
X_scaled = preprocessing.scale(X)
print(X_scaled)
# 处理后数据的均值和方差
print(X_scaled.mean(axis=0))
print(X_scaled.std(axis=0))

[[ 0.         -1.22474487  1.33630621]
 [ 1.22474487  0.         -0.26726124]
 [-1.22474487  1.22474487 -1.06904497]]
[0. 0. 0.]
[1. 1. 1.]

• 使用sklearn.preprocessing.StandardScaler类，使用该类的好处在于可以保存训练集中的参数（均值、方差）直接使用其对象转换测试集数据。

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
X = np.array([[1., -1., 2.],
               [2., 0., 0.],
               [0., 1., -1.]])

scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X)
print(scaler)

print(scaler.mean_)
#print(scaler.std_)
scaler.transform(X)
# 可以直接使用训练集对测试集数据进行转换
print(scaler.transform([[-1., 1., 0.]]))

StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)
[1.         0.         0.33333333]
[[-2.44948974  1.22474487 -0.26726124]]

得到的结果分布和原分布是一样的。不一定是标准正态分布。
标准化的目的是统一规格。使大家都在同一个量纲上。不至于一个特征的量纲过大而导致整个模型无法收敛。

代码举例说明标准化后不一定是标准正态分布

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
original_data = np.random.exponential(size =1000)
normalizad_data = (original_data- original_data.mean())/original_data.std()

fig, ax = plt.subplots(1, 2)
sns.distplot(original_data, ax= ax[0])
ax[0].set_title("Original Data")
sns.distplot(normalizad_data, ax= ax[1])
ax[1].set_title("Normalizad Data ")
plt.show()

二、归一化（Normalization）

将一列数据变化到某个固定区间(范围)中，通常，这个区间是[0, 1]，广义的讲，可以是各种区间，比如映射到[0，1]一样可以继续映射到其他范围，图像中可能会映射到[0,255]，其他情况可能映射到[-1,1]；

Mean normalization：

这种方法是将属性缩放到一个指定的最大和最小值（通常是1-0）之间，这可以通过preprocessing.MinMaxScaler类实现。

使用这种方法的目的包括：
1、对于方差非常小的属性可以增强其稳定性。

2、维持稀疏矩阵中为0的条目。

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
X_train = np.array([[1., -1., 2.],
                         [2., 0., 0.],
                         [0., 1., -1.]])

min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
X_train_minmax = min_max_scaler.fit_transform(X_train)
print(X_train_minmax)

# 将相同的缩放应用到测试集数据中
X_test = np.array([[-3., -1., 4.]])
X_test_minmax = min_max_scaler.transform(X_test)
print(X_test_minmax)

# 缩放因子等属性
print(min_max_scaler.scale_)

print(min_max_scaler.min_)

[[0.5        0.         1.        ]
 [1.         0.5        0.33333333]
 [0.         1.         0.        ]]
[[-1.5         0.          1.66666667]]
[0.5        0.5        0.33333333]
[0.         0.5        0.33333333]

当然，在构造类对象的时候也可以直接指定最大最小值的范围：feature_range=(min, max)，此时应用的公式变为：

X_std=(X-X.min(axis=0))/(X.max(axis=0)-X.min(axis=0))
X_scaled=X_std/(max-min)+min

代码举例说明标准化后不一定是标准正态分布

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
original_data = np.random.exponential(size =1000)
normalizad_data = (original_data- original_data.mean())/original_data.std()

fig, ax = plt.subplots(1, 2)
sns.distplot(original_data, ax= ax[0])
ax[0].set_title("Original Data")
sns.distplot(normalizad_data, ax= ax[1])
ax[1].set_title("Normalizad Data ")
plt.show()

三，中心化/零均值化 （Zero-centered）

另外，还有一种处理叫做中心化，也叫零均值处理，就是将每个原始数据减去这些数据的均值。
$x$

四、正则化

正则化的过程是将每个样本缩放到单位范数（每个样本的范数为1），如果后面要使用如二次型（点积）或者其它核方法计算两个样本之间的相似性这个方法会很有用。

正则化主要思想是对每个样本计算其p-范数，然后对该样本中每个元素除以该范数，这样处理的结果是使得每个处理后样本的p-范数（l1-norm,l2-norm）等于1。

L1 norm 是指对每个样本的每一个元素都除以该样本的L1范数.
L2 norm 是指对每个样本的每一个元素都除以该样本的L2范数.

p-范数的计算公式：$||X||p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}$
该方法主要应用于文本分类和聚类中。例如，对于两个TF-IDF向量的l2-norm进行点积，就可以得到这两个向量的余弦相似性。

1、可以使用preprocessing.normalize()函数对指定数据进行转换：

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
x = np.array([[1.,-1.,2.],
             [2.,0.,0.],
             [0.,1.,-1.]])

x_normalized = preprocessing.normalize(x, norm='l2', copy=True)
print(x_normalized)

#y = np.sqrt(x)
y = np.square(x)
y = np.sum(y, axis=1)
y = np.sqrt(y)
y = y[:, np.newaxis]
print(y)
print(x/y)

[[ 0.40824829 -0.40824829  0.81649658]
 [ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.          0.70710678 -0.70710678]]
[[2.44948974]
 [2.        ]
 [1.41421356]]
[[ 0.40824829 -0.40824829  0.81649658]
 [ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.          0.70710678 -0.70710678]]

2、可以使用processing.Normalizer()类实现对训练集和测试集的拟合和转换：

from sklearn import preprocessing
import numpy as np
x = np.array([[1.,-1.,2.],
             [2.,0.,0.],
             [0.,1.,-1.]])
normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(x)  # fit does nothing
print(normalizer)

print(normalizer.transform(x))


print(normalizer.transform([[-1., 1., 0.]]))

Normalizer(copy=True, norm='l2')
[[ 0.40824829 -0.40824829  0.81649658]
 [ 1.          0.          0.        ]
 [ 0.          0.70710678 -0.70710678]]
[[-0.70710678  0.70710678  0.        ]]

补充：

五， boxcox变换

对数据的分布的进行转换，使其符合某种分布（比如正态分布）的一种非线性特征变换。

来自百度百科

import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

original_data = np.random.exponential(size =1000)
normalizad_data = stats.boxcox(original_data)[0]

fig, ax = plt.subplots(1, 2)
sns.distplot(original_data, ax= ax[0])
ax[0].set_title("Original Data")
sns.distplot(normalizad_data, ax= ax[1])
ax[1].set_title("Normalizad Data ")
plt.show()

六， 非线性归一化

sigmoid变换(sigmoid函数)

softmax变换(softmax函数)

七，标准化(Standardization)与归一化(Normalization)的联系和差异

1. 联系

Standardization和Normalization本质上都是对数据的线性变换，广义的说，你甚至可以认为他们是同一个母亲生下的双胞胎，为何而言，因为二者都是不会改变原始数据排列顺序的线性变换：
假设原始数据为X ，
令$α =X_{max}-X_{min}$ and $β = X_{min}$ 很明显，数据给定后α 、 β就是常数)，
则$X =\frac{X_{i}-\beta}{\alpha}=\frac{X_{i}}{\alpha}-\frac{\beta}{\alpha}=\frac{X_{i}}{\alpha}-c$
可见Normalization是一个线性变换，按α进行缩放，然后平移c个单位。
其实 $\frac{X_{i}-\beta}{\alpha}$中的β 和α 就像是Standardization中的μ和σ(数据给定后，μ和σ也是常数)。线性变换，必不改变原始的排位顺序。

2. 差异

1. Normalization会严格的限定变换后数据的范围，比如按之前最大最小值处理的Normalization，它的范围严格在[0,1]之间； 而Standardization就没有严格的区间，变换后的数据没有范围，只是其均值是0，标准差为1。
2. 归一化(Normalization)对数据的缩放比例仅仅和极值有关，就是说比如100个数，你除去极大值和极小值其他数据都更换掉，缩放比例$α=X_{max}-X_{min}$是不变的；反观，对于标准化(Standardization)而言，它的α= σ，β = μ，如果除去极大值和极小值其他数据都更换掉，那么均值和标准差大概率会改变，这时候，缩放比例自然也改变了。

3. 什么时候使用

如果你对处理后的数据范围有严格要求，那肯定是归一化，个人经验，标准化是ML中更通用的手段，如果你无从下手，可以直接使用标准化；如果数据不为稳定，存在极端的最大最小值，不要用归一化。在分类、聚类算法中，需要使用距离来度量相似性的时候、或者使用PCA技术进行降维的时候，标准化表现更好；在不涉及距离度量、协方差计算的时候，可以使用归一化方法。
PS：PCA中标准化表现更好的原因可以参考(PCA标准化)

4. 是否所有情况都用Standardization或Normalization

当原始数据不同维度特征的尺度(量纲)不一致时，需要标准化步骤对数据进行标准化或归一化处理，反之则不需要进行数据标准化。也不是所有的模型都需要做归一的，比如模型算法里面有没关于对距离的衡量，没有关于对变量间标准差的衡量。比如决策树，他采用算法里面没有涉及到任何和距离等有关的，所以在做决策树模型时，通常是不需要将变量做标准化的；另外，概率模型不需要归一化，因为它们不关心变量的值，而是关心变量的分布和变量之间的条件概率。