原创：hxj7
本文介绍了拒绝抽样（Reject Sampling）。
前文《R-概率统计与模拟（三）变换均匀分布对特定分布进行抽样》介绍了通过“变换均匀分布”来对特定分布进行抽样的方法，但是该方法需要知道累积分布的解析表达式及其反函数，所以有一定的限制。
其实，我们最常接触的还是
，根据
抽样往往更直接。比如，均匀分布的
就很简单，对其抽样也很方便。但是，对于一些复杂的
，直接抽样是不可取的，需要用其它方法。拒绝抽样就是其中一种。
下文分为五个部分：
- 拒绝抽样简介
- 利用拒绝抽样方法对 分布抽样
- 如何利用 rand(7)对rand(10)抽样
- 蓄水池抽样算法
- 对拒绝抽样的补充说明
拒绝抽样简介
所谓拒绝抽样，是针对一个已知
的概率分布进行抽样的方法。具体步骤如下：
是
。
2.可能比较复杂以至于直接抽样有困难，我们可以选择一个容易抽样的分布，假设该
分布是
，再选择一个足够大的数
，使得
始终比
大。
3. 根据抽取一个值
。
4. 从[0,1]均匀分布中抽取一个数，如果
那么接受这个采样值，否则拒绝它。
5.重复第3步和第4步，知道采样的数量达到预定要求。
通过这些步骤获取到的采样值就是符合
分布的。需要注意的是
的取值，如果
过大，会导致抽样过程中被拒绝的点增多，降低采样点的接受率。事实上，我们可以证明采样点的接受率是
，所以M的取值应该在保证
,
的前提下尽可能得小。（相关的证明在文末。）
像上图一样，
的取值要保证
,
。
利用拒绝抽样方法对Gamma分布抽样
上面的步骤比较抽象，我们举一个实际的例子来说明：我们怎么通过拒绝抽样的方法对
进行抽样？
（选这个例子是因为它也用到了我们在前文提到的“变换均匀分布”的方法。）
我们对照上面的步骤一步一步来说：
是：
2. 显然比较复杂，不易直接采样。我们选择一个较容易采样的分布，其
是：
我们选择：
所以：
可以证明，当并且
时，对所有的
都有
。并且
可以看出取值不同时，
、
以及
都是在变化的，也会影响到接受率。
3. 根据抽取一 个值
。看起来
也是蛮复杂的，怎么对其抽样呢？我们可以通过
变换均匀分布的方法来实现：
我们从[0,1]的均匀分布中抽取一个值,然后令
这种通过变换均匀分布的方式得到的等价于从
中抽取
。
4. 从[0,1]均匀分布中抽取一个数，如果
那么接受这个采样值，否则拒绝它。
5. 重复第3步和第4步，知道采样的数量达到预定要求。
上文已经提及，λ取值不同会影响
值，从而影响到接受率。为了验证这一点，笔者写了一段代码来做一个实验：
假设我们让
，再分别让
以及
看
取值不同对接受率的影响。
代码如下：
# Step1. p(x)函数
px <- function(x, a) dgamma(x, shape=a, scale=1)
# Step2. q(x)函数
qx <- function(x, a, l) a ^ l * l * x ^ (l - 1) / ((a ^ l + x ^ l ) ^ 2)
getM <- function(a, l) 4 * exp(-a) * a ^ a / (gamma(a) * l) # 计算M值
mqx <- function(x, a, l, M) M * qx(x, a, l) # Mq(x)函数
# Step3. 变换均匀分布以便对q(x)抽样的函数
transUnif <- function(x, a, l) a * (x / (1 - x)) ^ (1 / l)
# 单纯为了画p(x)的理论曲线用的函数
px.1 <- function(x) px(x, alpha)
# 单纯为了画lambda=lambda.1时Mq(x)的理论曲线用的函数
mqx.1 <- function(x) mqx(x, alpha, lambda.1, M.1)
# 单纯为了画lambda=lambda.2时Mq(x)的理论曲线用的函数
mqx.2 <- function(x) mqx(x, alpha, lambda.2, M.2)
ogamma <- function(a, l, M) {
while (T) {
x <- runif(1, 0, 1)
y <- transUnif(x, a, l) # 变换均匀分布实现对q(x)的抽样
u <- runif(1, 0, 1)
if (u < px(y, a) / mqx(y, a, l, M)) # Step4. 是否接受采样点
break
nfail <<- nfail + 1 # 记录被拒绝的次数
}
y
}
sgamma <- function(n, a, l, M) {
set.seed(123)
replicate(n, ogamma(a, l, M))
}
N <- 100000
alpha <- 5
# 第一种lambda值的效果
lambda.1 <- sqrt(2 * alpha - 1)
M.1 <- getM(alpha, lambda.1)
nfail <- 0
res.1 <- sgamma(N, alpha, lambda.1, M.1)
nfail / (nfail + N) # 计算模拟的拒绝率，14.38%
1 - 1 / M.1 # 计算理论的拒绝率，14.51%
plot(density(res.1), xlim=c(0, 20), col="red", xlab="x",
main=paste0("Reject Sampling for Gamma(x, ", alpha, ", 1)nwith lambda=", lambda.1))
curve(px.1, 0, 20, col="blue", add=T, lty=2)
curve(mqx.1, 0, 20, col="black", add=T, lty=3)
legend("topright", legend=c("simulative", "theoretical p(x)", "theoretical Mq(x)"),
col=c("red", "blue", "black"), lty=c(1,2,3), bty="n")
# 第二种lambda值的效果
lambda.2 <- 1
M.2 <- getM(alpha, lambda.2)
nfail <- 0
res.2 <- sgamma(N, alpha, lambda.2, M.2)
nfail / (nfail + N) # 计算模拟的拒绝率，71.54%
1 - 1 / M.2 # 计算理论的拒绝率，71.50%
plot(density(res.2), xlim=c(0, 20), ylim=c(0, 0.7), col="red", xlab="x",
main=paste0("Reject Sampling for Gamma(x, ", alpha, ", 1)nwith lambda=", lambda.2))
curve(px.1, 0, 20, col="blue", add=T, lty=2)
curve(mqx.2, 0, 20, col="black", add=T, lty=3)
legend("topright", legend=c("simulative", "theoretical p(x)", "theoretical Mq(x)"),
col=c("red", "blue", "black"), lty=c(1,2,3), bty="n")
我们可以看出，当
分别取3和1时，接受率从85.49%下降到了28.5。所以，λ对接受率的影响是非常大的。
如何利用rand7对rand10抽样
这来源于一个常见的算法题：如果已知一个rand7()函数，它可以从1到7这7个数字中随机地、等概率地抽取一个数，那么如何利用rand7()函数实现rand10()函数呢？所谓rand10()函数，就是这个函数可以从1到10这10个数字中随机地、等概率地抽取一个数。
这个问题的一个常见解答步骤是：
这个表达式实现从1-49这49个数中随机而等概率地抽取一个数
；
2.如果，那么接受
，并将x%10+1的值作为一个采样点；否则拒绝
；那么这样得到的一系列采样点就是符合预期要求的。
这个解答步骤为什么是正确的，证明也很简单，和文末的证明过程类似，所以在此略过。那为什么要介绍这个题目呢？因为我们看到抽样过程中也涉及到了“接受-拒绝”的过程，所以笔者认为这可以看作文初所述的拒绝抽样过程的一种变型。
这个问题的代码也很简单：
rand7 <- function() {
sample(7, 1) # 从1-7中随机抽取一个整数
}
rand10 <- function() {
while (T) {
x <- (rand7() - 1) * 7 + rand7() # 1-49 uniformly.
if (x <= 40)
break
}
x %% 10 + 1 # 一个服从均匀分布的rand10的采样值
}
N <- 100000 # 样本大小
set.seed(123)
res <- replicate(N, rand10())
hist(res, prob=T, breaks = 0:10, ylim=c(0, 0.15), xlab="x",
main="Simulation of rand10")
abline(h=0.1, col="red", lty=2)
结果如下：
从上图中可以看出，rand10()的抽样结果符合均匀分布，达到预期。
蓄水池抽样算法
如同上面rand10()的题目一样，蓄水池算法的实现过程中也涉及到了“接受-拒绝”过程，所以在此一并介绍：
所谓蓄水池抽样算法，主要应用于如下问题：即我们要从1,2,…,N这N个样本中随机抽取m个样本，N非常大或者未知，且m<<N。
蓄水池抽样算法的步骤是：
1.首先将1,2,…,m这个m样本选进来；
2. 从i=m+1开始，从[1,i]中随机等概率抽取一个数r，如果1≤r≤m，那么用第i个样本替
代第r 个样本。否则不做处理
3. i=i+1
4. 重复第2步和第3步，直至处理完全部的样本。
其证明过程也很简单，用归纳法即可。笔者曾经写过一篇文章介绍了该算法在测序数据reads抽取方面的应用：《算法（二）蓄水池抽样算法快速随机抽取reads》。
对拒绝抽样的补充说明
的分布的？
证明：
首先我们给出一些记号：假设我们将目标分布
中的点记为
，从
中抽取的任意一个值记为
；并且让事件
代表
这个值被接受了。如果当
时被接受了，那么就是
。
有了这些记号，我们可以很容易地知道：
利用全概率公式，我们知道：
最终，我们想要知道的
的分布：
利用贝叶斯公式，我们有：
所以可以证明，依照拒绝抽样过程得到的采样点符合
分布。
拒绝采样的接受率如何计算?
从上面的证明过程中可以看出，接受率就是
，等于
。上述证明过程是笔者按照自己的理解写的，如果有错误，请朋友们指正。
小结
本文介绍了拒绝采样，并以Gamma分布、rand10以及蓄水池抽样算法等三个例子加以说明。拒绝采样不同于变换均匀分布的方法，它是直接根据
进行抽样。其缺点是要找到合适的
和
值并不容易，尤其是在高维的情况下，
值往往偏大，从而导致拒绝率很高。
