python最小生成树kruskal算法 最小生成树kruskal算法例题

求加权连通图的最小生成树的算法。

Kruskal（克鲁斯卡尔）算法：

“求加权连通图的最小生成树的算法。”

　　　　　　　　　　　　　　——百度百科

一、什么是Kruskal

 

我们直接来看Kruskal算法的实现思想：
　　对于每一条边，按权值从小到大排序，然后遍历。判断一条边的两点是否已经连通，若未连通，则把这条边加入图中，否则继续判断下一条边，直到构建出最小生成树。（一种贪心算法的应用）

 

看完上面，不知道你理解了吗？不管是否明白，我们下面结合一个例子再看一遍Kruskal是如何实现的。

 

对于下面的图，它有6个点和9条边，每条边上有相应的权值，不过目前这些边都还没有加入到图中。

首先我们从权值为1的边看起（按权值从小到大），很显然，它的两个点还没有连通，我们把它加入图中。

 

同样，我们接着把权值为2、3的两条边加入到图中。

 

然而在判断权值为4的边的时候，要小心，它的两端点已经连通（c→b→d），所以我们跳过这条边。

 

同理，我们接下来跳过权值为5、7、9的边，且将权值为6、8的边加入到图中，得到了我们的最小生成树。

 

相信通过上面的例子，你对Kruskal已经有了更深的理解，现在我们来思考如何用代码实现我们在上面模拟的过程。

 

二、如何实现Kruskal

首先我们先要解决两个问题：

　　①如何表示这些边、点及边的权值。

　　②如何判断两个点是否连通。

要解决这两个问题，我们需要两个工具：

·一个结构体，用来储存边的信息： 

1 struct edge
2 {
3     int start,to,value;    //起点、终点和权值，value的值可以不是整型
4     bool operator <(edge a)const    //重载运算符，作用相当于一个cmp函数
5     {
6         return value<a.value;
7     }
8 }e[num_edge];

·利用并查集，来判断点是否连通：

（如还未学习并查集，可点此跳转学习）

1 int union_find(int x)
 2 {
 3     int r=x;
 4     while(pre[r]!=r)    //寻找祖先。这样的话，我们就需要一个pre数组记录这个点的祖先
 5     {
 6         r=pre[r];
 7     }
 8     int i=x,j;
 9     while(i!=r)    //路径压缩，可不加
10     {
11         j=pre[i];
12         pre[i]=r;
13         i=j;
14     }
15     return r;
16 }

有了这两个工具，我们就可以用代码来实现Kruskal了：

void kruskal()
{
    int i;
    total=0;    //记录已经加入图中的边的数量
    val=0;    //记录权值之和
    for(i=0;i<m;i++)    //遍历边
    {
        int u,v;
        u=union_find(e[i].start);
        v=union_find(e[i].to);
        if(u==v) continue;    //判断这个边的两点是否连通，如连通，则跳过
        total++;
        pre[u]=v;    //将两点更新为连通
        val+=e[i].value;
        if(total==n-1) break;    //若total=n-1则已经生成最小生成树，可跳出循环了
    }
    return ;
}

 至此，相信你已经成功入门Kruskal了~

 

三、相关题目

例题：Luogu P3366【模板】最小生成树

代码：

1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int pre[5005],n,m,val,total;
 6 
 7 struct edge
 8 {
 9     int start,to,value;
10     bool operator <(edge a)const
11     {
12         return value<a.value;
13     }
14 }e[200005];
15 
16 int union_find(int x)
17 {
18     int r=x;
19     while(pre[r]!=r)
20     {
21         r=pre[r];
22     }
23     int i=x,j;
24     while(i!=r)
25     {
26         j=pre[i];
27         pre[i]=r;
28         i=j;
29     }
30     return r;
31 }
32 
33 void kruskal()
34 {
35     int i;
36     total=0;
37     val=0;
38     for(i=0;i<m;i++)
39     {
40         //cout<<"test"<<' ';
41         int u,v;
42         u=union_find(e[i].start);
43         v=union_find(e[i].to);
44        // cout<<u<<' '<<v<<'*'<<endl;
45         if(u==v) continue;
46         total++;
47         pre[u]=v;
48         val+=e[i].value;
49         if(total==n-1) break;
50     }
51 }
52 
53 int main()
54 {
55     int i;
56     scanf("%d%d",&n,&m);
57     for(i=0;i<n;i++) pre[i]=i;
58     for(i=0;i<m;i++) scanf("%d%d%d",&e[i].start,&e[i].to,&e[i].value);
59     sort(e,e+m);
60     kruskal();
61     //cout<<total<<'*'<<endl;
62     if(total==n-1) printf("%d",val);
63     else printf("orz");
64     return 0;
65 }

Luogu P3366